在非負(fù)數(shù)構(gòu)成的
數(shù)表
中每行的數(shù)互不相同,前6列中每列的三數(shù)之和為1,
,
,
,
,
,
,
均大于.如果
的前三列構(gòu)成的數(shù)表
滿足下面的性質(zhì)
:對于數(shù)表
中的任意一列
(
,2,…,9)均存在某個
使得
⑶
.
求證:
(ⅰ)最小值
,
,2,3一定自數(shù)表
的不同列.
(ⅱ)存在數(shù)表
中唯一的一列
,
,2,3使得
數(shù)表
仍然具有性質(zhì)
.
(。┘僭O(shè)最小值
,
,2,3不是取自數(shù)表
的不同列.則存在一列不含任何
.不妨設(shè)
,
,2,3.由于數(shù)表
中同一行中的任何兩個元素都不等,于是
,
,2,3.另一方面,由于數(shù)表
具有性質(zhì)
,在⑶中取
,則存在某個
使得
.矛盾.
(ⅱ)由抽屆原理知
,
,
中至少有兩個值取在同一列.不妨設(shè)
,
.
由前面的結(jié)論知數(shù)表
的第一列一定含有某個
,所以只能是
.同樣,第二列中也必含某個
,
,2.不妨設(shè)
.于是
,即
是數(shù)表
中的對角線上數(shù)字.
記
,令集合
.
顯然
且1,2
.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823141026527212.gif" style="vertical-align:middle;" />,
,
,所以
.
故
.于是存在
使得
.顯然,
,2,3.
下面證明
數(shù)表
具有性質(zhì)
.
從上面的選法可知
,
.這說明
,
.
又由
滿足性質(zhì)
.在⑶中取
,推得
,于是
.下證對任意的
,存在某個
,2,3使得
.假若不然,則
,
,3且
.這與
的最大性矛盾.因此,數(shù)表
滿足性質(zhì)
.
下證唯一性.設(shè)有
使得數(shù)表
具有性質(zhì)
,不失一般性,我們假定
⑷
.
由于
,
及(ⅰ),有
.又由(ⅰ)知:或者
,或者
.
如果
成立,由數(shù)表
具有性質(zhì)
,則
,
⑸
,
.
由數(shù)表
滿足性質(zhì)
,則對于
至少存在一個
使得
.由
及⑷和⑹式知,
,
.于是只能有
.類似地,由
滿足性質(zhì)
及
可推得
.從而
.
練習(xí)冊系列答案
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已知矩陣
=
,求
的特征值
,
及對應(yīng)的特征向量
.
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,則
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