已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求曲線在處的切線方程;
(2)若是的一個極值點,且點,滿足條件:.
(。┣的值;
(ⅱ)若點是三個不同的點, 判斷三點是否可以構(gòu)成直角三
角形?請說明理由。
(1);(2);點,,可構(gòu)成直角三角形.
解析試題分析:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和極值、向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識,考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問,對求導(dǎo),將切點的橫坐標1代入到中得到切線的斜率,代入到中得到切點的縱坐標,從而利用點斜式得到切線方程;第二問,先求函數(shù)的定義域,令,得到方程的根,將定義域斷開,判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求出函數(shù)極值;第三問,先排除幾個特例情況,在一般情況中,要證明三角形為直角三角形,只需判斷2邊垂直,用向量垂直的充要條件證明即可.
試題解析:(1), ,又,所以曲線在處的切線方程為,即.
(2)(。⿲τ,定義域為.
當(dāng)時,,,∴;
當(dāng)時,;當(dāng)時,,,∴
所以存在唯一的極值點,∴,則點為
(ⅱ)若,則,與條件不符,
從而得.同理可得.
若,則,與條件不符,從而得.
由上可得點,,兩兩不重合.
從而,點,,可構(gòu)成直角三角形.
考點:導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和極值、向量垂直的充要條件.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù)().
(1)求的單調(diào)區(qū)間;(4分)
(2)求所有實數(shù),使對恒成立.(8分)
(注:為自然對數(shù)的底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
近年來,某企業(yè)每年消耗電費約24萬元,為了節(jié)能減排,決定安裝一個可使用15年的太陽能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng),安裝這種供電設(shè)備的工本費(單位:萬元)與太陽能電池板的面積(單位:平方米)成正比,比例系數(shù)約為0.5.為了保證正常用電,安裝后采用太陽能和電能互補供電的模式.假設(shè)在此模式下,安裝后該企業(yè)每年消耗的電費(單位:萬元)與安裝的這種太陽能電池板的面積(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是為常數(shù)).記為該村安裝這種太陽能供電設(shè)備的費用與該村15年共將消耗的電費之和.
(1)試解釋的實際意義,并建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)為多少平方米時,取得最小值?最小值是多少萬元?
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設(shè)函數(shù).
(1)若在時有極值,求實數(shù)的值和的極大值;
(2)若在定義域上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2x+kln x,其中k≠0.
(1)當(dāng)k>0時,判斷f(x)在(0,+∞)上的單調(diào)性;
(2)討論f(x)的極值點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)關(guān)于的方程f(x)=a在區(qū)間上有兩個根,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為.
(1)若,求函數(shù)在點處的切線方程;
(2)求的單調(diào)區(qū)間;
(3)若為整數(shù),若時,恒成立,試求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
為圓周率,為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求,,,,,這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù);
(3)將,,,,,這6個數(shù)按從小到大的順序排列,并證明你的結(jié)論.
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