【題目】已知函數(shù).
(I)當時,求過點(0,1)且和曲線相切的直線方程;
(2)若函數(shù)在上有兩個不同的零點,求實致的取值范圍.
【答案】(1)或(2)
【解析】
(1)討論點是否是切點,是切點時,求出在該點的導函數(shù)就是切線的斜率,再運用直線的點斜式得切線方程;
不是切點時,設(shè)切點坐標,建立方程求出切點坐標,再求出切線方程;
(2)方法一:將整理成令,對求導,討論其零點的個數(shù),就是函數(shù)的零點的個數(shù),注意當最小值小于零時,需對取得最小值的點的左右兩側(cè)的函數(shù)判斷是否有零點的存在,可求出特殊點的函數(shù)值判斷其正負,根據(jù)零點存在定理判斷零點的存在;
方法二:由可得對a實行參變分離方法,構(gòu)造新函數(shù),對其求導研究此函數(shù)的單調(diào)性和最值,要使函數(shù)在上有兩個不同的零點,即直線與函數(shù)的圖象在上有兩個不同的交點,可得解.
(1)當時,,
當點為切點時,所求直線的斜率為,則過點且和曲線相切的直線方程為
當點不是切點時,設(shè)切點坐標為,
則所求直線的斜率為,所以,①易知②
由①②可得
即
設(shè)則
所以當時,當時,,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
又
所以有唯一的零點,
因為,所以方程的根為,即切點坐標為,
故所求切線的斜率為,則過點且和曲線相切的直線方程為.
綜上,所求直線的方程為或.
(2)解法一:令,
因為,所以函數(shù)的零點就是函數(shù)的零點,
當時,沒有零點,所以沒有零點.
當時,,當時,當時,
所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
故是函數(shù)在上的最小值.
當即在上沒有零點,即在上沒有零點;
當即在上只有一個零點,即即在上只有一個零點;
當即,即在上有一個零點,所以在上有一個零點;
對任意的,都有,即,所以,即,令,則,所以
故在上有一個零點,
因此在上有兩個不同的零點,即在上有兩個不同的零點.
綜上,若函數(shù)在上有兩個不同的零點,則實數(shù)的取值范圍是.
解法二:由可得
令,
則函數(shù)在上有兩個不同的零點,即直線與函數(shù)的圖象在上有兩個不同的交點,令得
當時,當時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以在上的最大值為
因為,并且當時,
所以當時,在上的圖象與直線有兩個不同的交點,
即當時,函數(shù)在上有兩個不同的零點.
所以,若函數(shù)在上有兩個不同的零點,則實數(shù)a的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】
已知中心在坐標原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3),且點F(2.0)為其右焦點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)是否存在平行于OA的直線L,使得直線L與橢圓C有公共點,且直線OA與L的距離等于4?若存在,求出直線L的方程;若不存在,說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知命題表示雙曲線,命題表示橢圓.
⑴若命題為真命題,求實數(shù)的取值范圍.
⑵判斷命題為真命題是命題為真命題的什么條件(請用簡要過程說明是“充分不必要條件”、“必要不充分條件”、“充要條件”和 “既不充分也不必要條件”中的哪一個).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,雙曲線的右頂點為A,右焦點為F,點B在雙曲線的右支上,矩形OFBD與矩形AEGF相似,且矩形OFBD與矩形AEGF的面積之比為2:1,則該雙曲線的離心率為
A.
B.
C.
D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,,)圖象上兩個相鄰的最值點為和
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)在區(qū)間上的對稱中心、對稱軸;
(3)將函數(shù)圖象上每一個點向右平移個單位得到函數(shù),令,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值,并指出此時x的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】撫州不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化,更有著許多旅游景點.每年來撫州參觀旅游的人數(shù)不勝數(shù).其中,名人園與夢島被稱為撫州的兩張名片,為合理配置旅游資源,現(xiàn)對已游覽名人園景點的游客進行隨機問卷調(diào)查.若不去夢島記1分,若繼續(xù)去夢島記2分.每位游客去夢島的概率均為,且游客之間的選擇意愿相互獨立.
(1)從游客中隨機抽取3人,記總得分為隨機變量,求的分布列與數(shù)學期望;
(2)若從游客中隨機抽取人,記總分恰為分的概率為,求數(shù)列的前6項和;
(3)在對所有游客進行隨機問卷調(diào)查的過程中,記已調(diào)查過的累計得分恰為分的概率為,探討與之間的關(guān)系,并求數(shù)列的通項公式.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a∈R,函數(shù)f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R).
(1)當a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,求a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB//CD,且.
(1)證明:平面PAB⊥平面PAD;
(2)若PA=PD=AB=DC, ,求二面角A-PB-C的余弦值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,三棱柱的側(cè)面是圓柱的軸截面,C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個點。
(1)若圓柱的軸截面是正方形,當點C是弧AB的中點時,求異面直線與AB的所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示);
(2)當點C是弧AB的中點時,求四棱錐體積與圓柱體積的比.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com