Question

7．如果定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：對于任意x₁≠x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱f（x）為“H函數(shù)”．給出下列函數(shù)：①y=-x³+x+1；②y=3x-2（sinx-cosx）；③y=e^x+1；④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ln|x|，x≠0\\ 0，x=0.\end{array}\right.$
其中“H函數(shù)”的個數(shù)是②③．

Answer 1

分析 不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結論．

解答 解：∵對于任意給定的不等實數(shù)x₁，x₂，不等式x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＞x₁f（x₂）+x₂f（x₁）恒成立，
∴不等式等價為（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0恒成立，
即函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)．
①y=-x³+x+1；y'=-3x²+1，則函數(shù)在定義域上不單調(diào)．
②y=3x-2（sinx-cosx）；y’=3-2（cosx+sinx）=3-2$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件．
③y=e^x+1為增函數(shù)，滿足條件．
；④$f（x）=\left\{\begin{array}{l}ln|x|，x≠0\\ 0，x=0.\end{array}\right.$
當x＞0時，函數(shù)單調(diào)遞增，當x＜0時，函數(shù)單調(diào)遞減，不滿足條件．
綜上滿足“H函數(shù)”的函數(shù)為②③，
故答案為：②③．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應用，將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關鍵．