【題目】已知{an}是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列,該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為An , 第n項(xiàng)之后各項(xiàng)an+1 , an+2…的最小值記為Bn , dn=An﹣Bn
(1)若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3…,是一個(gè)周期為4的數(shù)列(即對(duì)任意n∈N* , an+4=an),寫出d1 , d2 , d3 , d4的值;
(2)設(shè)d是非負(fù)整數(shù),證明:dn=﹣d(n=1,2,3…)的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數(shù)列;
(3)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),則{an}的項(xiàng)只能是1或者2,且有無窮多項(xiàng)為1.

【答案】
(1)解:若{an}為2,1,4,3,2,1,4,3…,是一個(gè)周期為4的數(shù)列,∴d1=A1﹣B1=2﹣1=1,

d2=A2﹣B2=2﹣1=1,d3=A3﹣B3=4﹣1=3,d4=A4﹣B4=4﹣1=3.


(2)證明:

充分性:設(shè)d是非負(fù)整數(shù),若{an}是公差為d的等差數(shù)列,則an=a1+(n﹣1)d,

∴An=an=a1+(n﹣1)d,Bn=an+1=a1+nd,∴dn=An﹣Bn=﹣d,(n=1,2,3,4…).

必要性:若 dn=An﹣Bn=﹣d,(n=1,2,3,4…).假設(shè)ak是第一個(gè)使ak﹣ak1<0的項(xiàng),

則dk=Ak﹣Bk=ak1﹣Bk≥ak1﹣ak>0,這與dn=﹣d≤0相矛盾,故{an}是一個(gè)不減的數(shù)列.

∴dn=An﹣Bn=an﹣an+1=﹣d,即 an+1﹣an=d,故{an}是公差為d的等差數(shù)列.


(3)證明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),首先,{an}的項(xiàng)不能等于零,否則d1=2﹣0=2,矛盾.

而且還能得到{an}的項(xiàng)不能超過2,用反證法證明如下:

假設(shè){an}的項(xiàng)中,有超過2的,設(shè)am是第一個(gè)大于2的項(xiàng),由于{an}的項(xiàng)中一定有1,否則與d1=1矛盾.

當(dāng)n≥m時(shí),an≥2,否則與dm=1矛盾.

因此,存在最大的i在2到m﹣1之間,使ai=1,此時(shí),di=Ai﹣Bi=2﹣Bi≤2﹣2=0,矛盾.

綜上,{an}的項(xiàng)不能超過2,故{an}的項(xiàng)只能是1或者2.

下面用反證法證明{an}的項(xiàng)中,有無窮多項(xiàng)為1.

若ak是最后一個(gè)1,則ak是后邊的各項(xiàng)的最小值都等于2,故dk=Ak﹣Bk=2﹣2=0,矛盾,

故{an}的項(xiàng)中,有無窮多項(xiàng)為1.

綜上可得,{an}的項(xiàng)只能是1或者2,且有無窮多項(xiàng)為1.


【解析】(1)根據(jù)條件以及dn=An﹣Bn的定義,直接求得d1 , d2 , d3 , d4的值.(2)設(shè)d是非負(fù)整數(shù),若{an}是公差為d的等差數(shù)列,則an=a1+(n﹣1)d,從而證得dn=An﹣Bn=﹣d,(n=1,2,3,4…).若dn=An﹣Bn=﹣d,(n=1,2,3,4…).可得{an}是一個(gè)不減的數(shù)列,求得dn=An﹣Bn=﹣d,即 an+1﹣an=d,即{an}是公差為d的等差數(shù)列,命題得證.(3)若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),則{an}的項(xiàng)不能等于零,再用反證法得到{an}的項(xiàng)不能超過2,
從而證得命題.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等差關(guān)系的確定和等比關(guān)系的確定,需要了解如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),即=d ,(n≥2,n∈N)那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列;等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷才能得出正確答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)求直方圖中的值;

(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)各是多少(結(jié)果保留整數(shù));

(3)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布,試計(jì)算數(shù)據(jù)落在上的概率.

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年份

2014

2015

2016

2017

2018

特色學(xué)校(百個(gè))

0.30

0.60

1.00

1.40

1.70

(Ⅰ)根據(jù)上表數(shù)據(jù),計(jì)算的相關(guān)系數(shù),并說明的線性相關(guān)性強(qiáng)弱(已知:,則認(rèn)為線性相關(guān)性很強(qiáng);,則認(rèn)為線性相關(guān)性一般;,則認(rèn)為線性相關(guān)性較弱);

(Ⅱ)求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測我市2019年特色學(xué)校的個(gè)數(shù)(精確到個(gè)).

參考公式: ,,,,

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分組

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頻率

0.4

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