Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-

π

3

，0）．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）將點(diǎn)(-

π

3

，0)代入函數(shù)f（x）的解析式即可求出實(shí)數(shù)a的值；
（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果f（x）=2sin(x+

π

3

)，再根據(jù)周期公式T=

2π

|ω|

計算函數(shù)f（x）的最小正周期，利用整體法對x+

π

3

施加限制條件，2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

 (k∈Z)，解出x的取值范圍，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=sinx+acosx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-

π

3

，0），
∴f（-

π

3

）=sin（-

π

3

）+acos（-

π

3

）=-

3

2

+a×

1

2

=0，
解得a=

3

．
（2）由（1）知f（x）=sinx+

3

cosx=2sin（x+

π

3

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

1

=2π，
由2kπ-

π

2

≤x+

π

3

≤2kπ+

π

2

 (k∈Z)，解得2kπ-

5π

6

≤x≤2kπ+

π

6

 (k∈Z)，
故函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

5π

6

，2kπ+

π

6

] (k∈Z)．

點(diǎn)評：本題主要考查了二倍角公式，三角函數(shù)的周期性與單調(diào)性，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．