Question

9．已知函數(shù)f（x）=2x+sinx，且f（y²-2y+3）+f（x²-4x+1）≤0，則當(dāng)y≥1時，$\frac{y}{x+1}$的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{1}{4}，\frac{3}{4}}]$
• B． $[{0，\frac{3}{4}}]$
• C． $[{\frac{1}{4}，\frac{1}{2}}]$
• D． $[{\frac{1}{4}，\frac{1}{3}}]$

Answer 1

分析 判斷函數(shù)f（x）的奇偶性和單調(diào)性，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用直線和圓的位置關(guān)系，結(jié)合數(shù)形結(jié)合和$\frac{y}{x+1}$的幾何意義即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）=2x+sinx（x∈R），
∴f（-x）=-2x-sinx=-（2x+sinx）=-f（x），
即f（x）=2x+sinx（x∈R）是奇函數(shù)，
∵f（y²-2y+3）+f（x²-4x+1）≤0，
∴f（y²-2y+3）≤-f（x²-4x+1）=f[-（x²-4x+1）]，
由f'（x）=1-cosx≥0，
∴函數(shù)單調(diào)遞增．
∴（y²-2y+3）≤-（x²-4x+1），
即（y²-2y+3）+（x²-4x+1）≤0，
∴（y-1）²+（x-2）²≤1，
∵y≥1，
∴不等式對應(yīng)的平面區(qū)域為圓心為（2，1），半徑為1的圓的上半部分．
$\frac{y}{x+1}$的幾何意義為動點P（x，y）到定點A（-1，0）的斜率的取值范圍．
設(shè)k=$\frac{y}{x+1}$，（k＞0）
則y=kx+k，即kx-y+k=0．
當(dāng)直線和圓相切是，圓心到直線的距離d=$\frac{|3k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
即8k²-6k=0，解得k=$\frac{3}{4}$．此時直線斜率最大．
當(dāng)直線kx-y+k=0．經(jīng)過點B（3，1）時，直線斜率最小，
此時3k-1+k=0，即4k=1，解得k=$\frac{1}{4}$
∴$\frac{1}{4}$≤k≤$\frac{3}{4}$，
故選：A．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷以及直線斜率的取值范圍，綜合性較強(qiáng)，運算量較大，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想．