Question

17．已知直線l：kx-y-3k=0與圓M：x²+y²-8x-2y+9=0．
（1）直線過(guò)定點(diǎn)A，求A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求證：直線l與圓M必相交；
（3）當(dāng)圓M截直線l所得弦長(zhǎng)最小時(shí)，求k的值．

Answer 1

分析 （1）直線l可化為：y=k（x-3），過(guò)定點(diǎn)A（3，0）；
（2）由已知中直線l：kx-y-3k=0，我們可得直線必過(guò)點(diǎn)P（3，0），代入圓方程可得點(diǎn)P在圓內(nèi)，由此即可得到答案．
（3）根據(jù)當(dāng)圓M截直線l所得弦長(zhǎng)最小時(shí)，l與MP垂直，我們根據(jù)M、P點(diǎn)的坐標(biāo)，求出MP的斜率，進(jìn)而即可求出滿足條件的k的值．

解答 （1）解：直線l可化為：y=2（x-3），所以直線l恒過(guò)點(diǎn)A（3，0）；
（2）證明：∵直線l恒過(guò)點(diǎn)P（3，0），
代入圓的方程可得x²+y²-8x-2y+9＜9，
∴P（3，0）點(diǎn)在圓內(nèi)；
則直線l與圓M必相交；
（3）解：圓M截直線l所得弦長(zhǎng)最小時(shí)，則MP與直線l垂直，
∵M(jìn)點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），P（3，0），
∴K_MP=1，
∴k=-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與圓相交的性質(zhì)，其中恒過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)時(shí)，直線與圓相交，圓M截直線l所得弦長(zhǎng)最小時(shí)，MP與l垂直都是直線與圓問(wèn)題中經(jīng)�？疾榈闹�識(shí)點(diǎn)．