Question

13．設(shè)a＞1，函數(shù)f（x）=log₂（x²+2x+a），x∈[-3，3]．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）的最大值為5，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）令t（x）=x²+2x+a，x∈[-3，3]，根據(jù)復(fù)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性法則即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知f（x）在x=-1處取得最小值，在x=3取取最大值，先求出a的值，即可求出答案．

解答 解：（1）當(dāng)a＞1時(shí)，知x²+2x+1＞0對(duì)任意的x∈[-3，3]，
令t（x）=x²+2x+a，x∈[-3，3]，
則y=log₂t，
且t（x）=（x+1）²+a-1，x∈[-3，3]，
∴t（x）在[-3，-1]上為減函數(shù)，在（-1，3]為增函數(shù)，
∵y=log₂t為增函數(shù)，
∴f（x）=log₂（x²+2x+a）的兩個(gè)單調(diào)區(qū)間為[-3，-1]，（-1，3]，
且f（x）在[-3，-1]為減函數(shù)，在（-1，3]為增函數(shù)；
（2）由（1）的單調(diào)性知，f（x）在x=-1處取得最小值，在x=3取得最大值，
∴f（x）_max=f（3）=log₂（a+15）=5，
解得a=17，
∴f（x）_min=f（-1）=log₂16=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．