Question

18．已知三棱錐P-ABC的所有棱長都相等，現(xiàn)沿PA，PB，PC三條側(cè)棱剪開，將其表面展開成一個平面圖形，若這個平面圖形外接圓的半徑為$\sqrt{6}$，則三棱錐P-ABC的體積為$\frac{9}{8}$．

Answer 1

分析 根據(jù)展開圖的形狀計算棱錐的棱長，得出棱錐的高，代入棱錐的體積公式計算即可．

解答 解：設(shè)正三棱錐的棱長為a，則$\frac{\sqrt{3}}{2}$a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a•$\frac{1}{3}$=$\sqrt{6}$，
解得a=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴棱錐的高為$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{2}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴棱錐的體積V=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{4}•（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}•\sqrt{3}$=$\frac{9}{8}$．
故答案為$\frac{9}{8}$．

點評 本題考查了棱錐的側(cè)面展開圖，棱錐的體積計算，屬于中檔題．