Question

1．若x∈R，$\sqrt{y}$有意義且滿足x²+y²-4x+1=0，則$\frac{y}{x}$的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． 1
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 $\frac{y}{x}$可看作點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)連線的斜率，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線中斜率最大值的問(wèn)題．

解答 解：圓的圓心坐標(biāo)（2，0）半徑為$\sqrt{3}$，如圖：
設(shè)$\frac{y}{x}$=k，則y=kx，
所以k為過(guò)原點(diǎn)與圓x²+y²-4x+1=0上的點(diǎn)連線的斜率．
由幾何意義知，直線與圓相切時(shí)，直線的斜率取得最大值或最小值，
圓的半徑為$\sqrt{3}$，圓心到原點(diǎn)的距離為2，
所以k=tan60°=$\sqrt{3}$，
所以$\frac{y}{x}$的最大值是$\sqrt{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 考查$\frac{y}{x}$的幾何意義，類似于本題中這樣的分式形式求最值時(shí)一般都轉(zhuǎn)化為求直線的斜率來(lái)解決．