已知拋物線.
(1)若圓心在拋物線上的動圓,大小隨位置而變化,但總是與直線相切,求所有的圓都經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo);
(2)拋物線的焦點(diǎn)為,若過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),若,求直線的斜率;
(3)若過點(diǎn)且相互垂直的兩條直線,拋物線與交于點(diǎn)與交于點(diǎn).
證明:無論如何取直線,都有為一常數(shù).
(1);(2);(3)證明見解析.
解析試題分析:(1)本題考查拋物線的定義,由于直線是已知拋物線的的準(zhǔn)線,而圓心在拋物線上的圓既然與準(zhǔn)線相切,則它必定過拋物線的焦點(diǎn),所以所有的圓必過拋物線的焦點(diǎn),即定點(diǎn);(2)這是直線與拋物線相交問題,設(shè)如設(shè),,則,兩式相減有,則,下面就是要求或,為此,我們設(shè)直線方程為,把它與拋物線方程聯(lián)立方程組,消去,就可得到關(guān)于的方程,可得,,只是里面含有,這里解題的關(guān)鍵就是已知條件怎樣用?實(shí)際上有這個條件可得,這樣與剛才的,合起來就能求出;(3)由于直線過焦點(diǎn),因此弦長可用拋物線的定義來求,設(shè)方程為,,同理,直線計(jì)算,可證結(jié)論.
試題解析:(1) 由定義可得定點(diǎn)(1,0);(4分)
(2)設(shè),由,得(5分)
由方程組,得
得(7分)
聯(lián)立上述方程求得:(9分)
(3) 由,得(11分)
則,(12分)
同理: ,(14分)
因此為常數(shù).(16分)
考點(diǎn):(1)拋物線的定義;(2)直線和與拋物線相交與向量的應(yīng)用;(3)圓錐曲線綜合問題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓C1:的右焦點(diǎn)為F,P為橢圓上的一個動點(diǎn).
(1)求線段PF的中點(diǎn)M的軌跡C2的方程;
(2)過點(diǎn)F的直線l與橢圓C1相交于點(diǎn)A、D,與曲線C2順次相交于點(diǎn)B、C,當(dāng)時,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓,直線與相交于、兩點(diǎn),與軸、軸分別相交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若直線的方程為,求外接圓的方程;
(2)判斷是否存在直線,使得、是線段的兩個三等分點(diǎn),若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
知橢圓的兩焦點(diǎn)、,離心率為,直線:與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)在軸上的射影為點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求直線的方程,使的面積最大,并求出這個最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),一個焦點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線與軸交于點(diǎn),與橢圓交于兩點(diǎn),線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的右焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)點(diǎn)在圓上,且在第一象限,過作圓的切線交橢圓于,兩點(diǎn),問:△的周長是否為定值?如果是,求出定值;如果不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)雙曲線C:(a>0,b>0)的一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),離心率, A、B是雙曲線上的兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)M(1,2).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)求直線AB方程;
(3)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點(diǎn),那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓?為什么?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知曲線C上動點(diǎn)P(x,y)到定點(diǎn)F1(,0)與定直線l1∶x=的距離之比為常數(shù).
(1)求曲線C的軌跡方程;
(2)以曲線C的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2(r>0),設(shè)圓T與曲線C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N,求·的最小值,并求此時圓T的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,F(xiàn)1、F2是橢圓=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)M在x軸上,且=,過點(diǎn)F2的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),且AM⊥x軸,·=0.
(1)求橢圓的離心率;
(2)若△ABF1的周長為,求橢圓的方程.
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