設(shè)雙曲線C:(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),離心率, A、B是雙曲線上的兩點(diǎn),AB的中點(diǎn)M(1,2).
(1)求雙曲線C的方程;
(2)求直線AB方程;
(3)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點(diǎn),那么A、B、C、D四點(diǎn)是否共圓?為什么?
(1) (2) (3)是,理由見解析
解析試題分析:
(1)根據(jù)題意已知,則利用雙曲線a,b,c之間的關(guān)系與離心率的定義即可求出的值,進(jìn)而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)根據(jù)題意可得AB為雙曲線的一條弦,要求弦所在直線,還需要斜率,可以采用點(diǎn)差法利用弦的中來求解弦的斜率,已知了弦所在直線的斜率與弦上的中點(diǎn)坐標(biāo),再利用直線的點(diǎn)斜式即可求出弦所在直線的方程.
(3)由(2)可得AB直線的方程,聯(lián)立直線AB與雙曲線的方程消元解二次方程即可得到A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),已知AB線段的斜率與中點(diǎn)即可求的AB垂直平分線的直線方程,聯(lián)立垂直平分線與雙曲線的方程消元解二次方程即可求的CD兩點(diǎn)的坐標(biāo).
試題解析:
(1)依題意得,解得a=1. (1分)
所以, (2分)
故雙曲線C的方程為. (3分)
(2)設(shè),則有 .
兩式相減得: , (4分)
由題意得,,, (5分)
所以,即. (6分)
故直線AB的方程為. (7分)
(3)假設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)共圓,且圓心為P. 因?yàn)锳B為圓P的弦,所以圓心P在AB垂直平分線CD上;又CD為圓P的弦且垂直平分AB,故圓心P為CD中點(diǎn)M. (8分)
下面只需證CD的中點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.
由得:A(-1,0),B(3,4). (9分)
由(1)得直線CD方程:, (10分)
由得:C(-3+,6-),D(-3-,6+), (11分)
所以CD的中點(diǎn)M(-3,6). (12分)
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/8b/9/1ul1x3.png" style="vertical-align:middle;" />,,
,, (13分)
所以,
即 A、B、C、D四點(diǎn)在以點(diǎn)M(-3,6)為圓心,為半徑的圓上. (14分)
考點(diǎn):雙曲線 直線與圓錐曲線 弦長 共圓
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),開口向右,過焦點(diǎn)且垂直于拋物線對稱軸的弦長為2,過C上一點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線交拋物線于P,Q兩點(diǎn).
(1)若直線PQ過定點(diǎn),求點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)對于第(1)問的點(diǎn)A,三角形APQ能否為等腰直角三角形?若能,試確定三角形APD的個(gè)數(shù);若不能,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
雙曲線的中心在原點(diǎn),右焦點(diǎn)為,漸近線方程為 .
(1)求雙曲線的方程;
(2)設(shè)直線:與雙曲線交于、兩點(diǎn),問:當(dāng)為何值時(shí),以 為直徑的圓過原點(diǎn);
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線.
(1)若圓心在拋物線上的動(dòng)圓,大小隨位置而變化,但總是與直線相切,求所有的圓都經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo);
(2)拋物線的焦點(diǎn)為,若過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn),若,求直線的斜率;
(3)若過點(diǎn)且相互垂直的兩條直線,拋物線與交于點(diǎn)與交于點(diǎn).
證明:無論如何取直線,都有為一常數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:()的短軸長為2,離心率為
(1)求橢圓C的方程
(2)若過點(diǎn)M(2,0)的引斜率為的直線與橢圓C相交于兩點(diǎn)G、H,設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn),且滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖;.已知橢圓C:的離心率為,以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M、N.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求的最小值,并求此時(shí)圓T的方程;
(3)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線MP,NP分別與軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn). 試問;是否存在使最大的點(diǎn)P,若存在求出P點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn),它的準(zhǔn)線過雙曲線=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn),并與雙曲線實(shí)軸垂直,已知拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為,求拋物線與雙曲線方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,動(dòng)點(diǎn)M為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)(異于右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)),設(shè)線段FM交橢圓C于點(diǎn)P,已知橢圓C的離心率為,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線PA的斜率為k1,直線MA的斜率為k2,求k1·k2的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓+y2=1的左頂點(diǎn)為A,過A作兩條互相垂直的弦AM、AN交橢圓于M、N兩點(diǎn).
(1)當(dāng)直線AM的斜率為1時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)當(dāng)直線AM的斜率變化時(shí),直線MN是否過x軸上的一定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請給出證明,并求出該定點(diǎn);若不過定點(diǎn),請說明理由.
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