在五棱錐P-ABCDE中,PA=AB=AE=2a,PB=PE=a,BC=DE=a
∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°.
(1)求證:PA⊥平面ABCDE;
(2)若G為PE中點(diǎn),求證:平面PDE
(3)求二面角A-PD-E的正弦值;
(4)求點(diǎn)C到平面PDE的距離
(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)(4)a
(1)證明∵PA=AB=2a,PB=2a,∴PA2+AB2=PB2,
∴∠PAB=90°,
PAAB.同理PAAE.∵ABAE=A,∴PA⊥平面ABCDE.(2)∵∠AED=90°,∴AEED.∵PA⊥平面ABCDE,∴PAED
ED⊥平面PAE,所以DEAG。,中點(diǎn),所以AGPE
AG⊥平面PDE                           
(3)∵∠AED=90°,∴AEED.∵PA⊥平面ABCDE
PAED.∴ED⊥平面PAE.過(guò)AAGPEG,過(guò)DEAG,
AG⊥平面PDE.過(guò)GGHPDH,連AH,由三垂線定理得AHPD
∴∠AHG為二面角A-PD-E的平面角.                              
在直角△PAE中,AGa.在直角△PAD中,AHa,
∴在直角△AHG中,sin∠AHG
∴二面角A-PD-E的正弦值為.           
(4)∵∠EAB=∠ABC=∠DEA="90°, " BC=DE=a,AB=AE=2a, 取AE中點(diǎn)F,連CF
AF∥=BC,∴四邊形ABCF為平行四邊形
.∴CFAB,而ABDE,∴CFDE,而DE平面PDECF平面PDE,
CF∥平面PDE.∴點(diǎn)C到平面PDE的距離等于F到平面PDE的距離.
PA⊥平面ABCDE,∴PADE.又∵DEAE,∴DE⊥平面PAE
∴平面PAE⊥平面PDE.∴過(guò)FFGPEG,則FG⊥平面PDE
FG的長(zhǎng)即F點(diǎn)到平面PDE的距離.  
在△PAE中,PA=AE=2a,FAE中點(diǎn),FGPE, 
FG=a.∴點(diǎn)C到平面PDE的距離為a
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,PC⊥平面ABC,∠ACB=90°,DAB中點(diǎn),
AC=BC=PC=2.
(Ⅰ)求證:AB⊥平面PCD;
(Ⅱ)求異面直線PDBC所成角的大。
(Ⅲ)設(shè)M為線段PA上的點(diǎn),且AP=4AM,求點(diǎn)A到平面BCM的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在三棱錐S,,。
(1)證明
(2)求側(cè)面與底面所成二面角的大小。
(3)求異面直線SC與AB所成角的大小。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,O是正方形ABCD的中心,PO底面ABCD,EPC的中點(diǎn).
求證:⑴PA∥平面BDE;
⑵平面PAC 平面BDE.    
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知長(zhǎng)方體
直線與平面所成的角為,垂直
,的中點(diǎn).
(1)求異面直線所成的角;
(2)求平面與平面所成的二面角;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖四棱錐中,底面正方形的邊長(zhǎng)為2
(1)求點(diǎn)到平面的距離;
(2)求直線與平面所成角的大。
(3)求以為半平面的二面角的正切值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

水平桌面兒上放置著一個(gè)容積為V的密閉長(zhǎng)方體玻璃容器ABCD—A1B1C1D1,其中裝有V的水。
(1)把容器一端慢慢提起,使容器的一條棱AD保持在桌面上,這個(gè)過(guò)程中水的形狀始終是柱體;(2)在(1)中的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,水面始終是矩形;(3)把容器提離桌面,隨意轉(zhuǎn)動(dòng),水面始終過(guò)長(zhǎng)方體內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn);(4)在(3)中水與容器的接觸面積始終不變。
以上說(shuō)法正確的是_____.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在正四棱錐中,,點(diǎn)在棱上。
(Ⅰ)問(wèn)點(diǎn)在何處時(shí),,并加以證明;
(Ⅱ)求二面角的余弦值。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知圓柱的底面半徑為r=10,高h(yuǎn)=20,一只螞蟻?zhàn)韵碌酌娴腁點(diǎn)爬到上底面的B′點(diǎn),且的長(zhǎng)度是上底面圓周長(zhǎng)的,求由A爬到B的最短路程.

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同步練習(xí)冊(cè)答案