如圖,PC⊥平面ABC,∠ACB=90°,DAB中點(diǎn),
AC=BC=PC=2.
(Ⅰ)求證:AB⊥平面PCD;
(Ⅱ)求異面直線PDBC所成角的大;
(Ⅲ)設(shè)M為線段PA上的點(diǎn),且AP=4AM,求點(diǎn)A到平面BCM的距離.
(Ⅰ)證明見解析。
(Ⅱ) arccos
(Ⅲ)
本小題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系,異面直線所成的角,點(diǎn)面距離等基礎(chǔ)知識;考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.滿分12分.
(Ⅰ)因?yàn)?i>PC⊥平面ABC,AB平面ABC,所以PCAB.………………………2分
ABC中,AC=BC,且DAB中點(diǎn),所以CDAB
PCCD=C,所以AB⊥平面PCD.…………………………………………4分
(Ⅱ)如圖,取AC中點(diǎn)E,連結(jié)DE、PE,則DEBC
所以∠PDE(或其補(bǔ)角)為異面直線PD與BC所成的角.…………………5分
因?yàn)?i>BC∥DE,ACBC,所以ACDE
PC⊥平面ABCDE平面ABC,所以PCDE,
因?yàn)?i>AC∩PC=C,所以DE⊥平面PAC,
因?yàn)?i>PEC平面PAC,所以DEPE.………6分
在Rt△ABC中,因?yàn)?i>AC=BC=2,所以AB=2
在Rt△PCD中,因?yàn)?i>PC=2,CD=AB=,
所以PD=
在Rt△PDE中,因?yàn)?i>DE=BC=1.所以cos∠PDE=
即異面直線PDBC所成的角為arccos.……………………………8分
(Ⅲ)因?yàn)?i>BC⊥AC,BCPC,所以BC⊥平面PAC,所以平面PCM⊥平面BCM
過點(diǎn)AANCMCMN,則AN⊥平面BCM.…………………10分
在Rt△PAC中,AC=PC=2,所以AP=2,又AP=4AM,所以AM=
ACM中,∠MAC=45°,所以CM==
MMGACACG,MG=AMsin45°=,
MG·AC=AN·CM,得AN=
所以點(diǎn)A到平面BCM的距離為.…………………………………12分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,四棱錐的底面是正方形,平面,上的點(diǎn).

(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

四棱錐的底面為正方形,底面,,上的點(diǎn).
(1)求證:無論點(diǎn)上如何移動(dòng),都有;
(2)若//平面,求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖所示:四棱錐P-ABCD底面一直角梯形,BA⊥AD,CD⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E為PC的中點(diǎn).
(1)證明:EB∥平面PAD;
(2)若PA=AD,證明:BE⊥平面PDC;
(3)當(dāng)PA=AD=DC時(shí),求二面角E-BD-C的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

在五棱錐P-ABCDE中,PA=AB=AE=2aPB=PE=a,BC=DE=a,
∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°.
(1)求證:PA⊥平面ABCDE;
(2)若G為PE中點(diǎn),求證:平面PDE
(3)求二面角A-PD-E的正弦值;
(4)求點(diǎn)C到平面PDE的距離

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(本題滿分14分)已知菱形ABCD的邊長為2,對角線交于點(diǎn),且,M為BC的中點(diǎn).將此菱形沿對角線BD折成二面角.
(I)求證:面 ;(II)若二面角時(shí),求直線 與面所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

下列命題中錯(cuò)誤的是(        ).
A.如果平面⊥平面,那么內(nèi)所有直線都垂直于平面
B.如果平面⊥平面,那么內(nèi)一定存在直線平行于平面
C.如果平面不垂直于平面,那么內(nèi)一定不存在直線垂直于平面
D.如果平面⊥平面,平面⊥平面,,那么平面

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在底面是直角梯形的四棱錐中,AD∥BC,∠ABC=90°,且,又PA⊥平面ABCD,AD=3AB=3PA=3a。
(I)求二面角P—CD—A的正切值;
(II)求點(diǎn)A到平面PBC的距離。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知菱形的頂點(diǎn)在橢圓上,對角線所在直線的斜率為1.
(Ⅰ)當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),求直線的方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求菱形面積的最大值.

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同步練習(xí)冊答案