Question

如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱AB上的動點.

（1）求證：DA₁⊥ED₁；
（2）若直線DA₁與平面CED₁成角為45^o，求的值；
（3）寫出點E到直線D₁C距離的最大值及此時點E的位置（結(jié)論不要求證明）.

Answer 1

（1）證明過程詳見解析（2）；（3）點E到直線D₁C距離的最大值為，此時點E在A點處.

試題分析：本題主要以正方體為幾何背景考查線線垂直、線面角、點到直線的距離、向量法等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的空間想象能力、轉(zhuǎn)化能力、計算能力.第一問，根據(jù)已知條件中的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，要證明DA₁⊥ED₁，只需證明即可，建立空間直角坐標(biāo)系后，寫出有關(guān)點的坐標(biāo)，得到向量和的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積的計算公式進行計算；第二問，先利用求平面法向量的計算公式，求出平面的法向量，由已知直線與平面成角為，利用夾角公式得到方程，解出m，即的值；第三問，由圖形得到結(jié)論.
試題解析：解：以D為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則D(0,0,0),A（1，0，0），B(1,1,0)，C(0,1,0),D₁(0,1,2),A₁(1,0,1)，設(shè)E(1,m,0)（0≤m≤1）
（1）證明：，

所以DA₁⊥ED₁.                              4分
（2）設(shè)平面CED₁的一個法向量為,則
，而，
所以取z=1,得y=1,x=1-m，得.
因為直線DA₁與平面CED₁成角為45^o，所以
所以，所以，解得m=.  11分
（3）點E到直線D₁C距離的最大值為，此時點E在A點處.   14分