Question

【題目】已知有限集合，定義如下操作過(guò)程：從中任取兩個(gè)元素、，由中除了、以外的元素構(gòu)成的集合記為；①若，則令；②若，則；這樣得到新集合，例如集合經(jīng)過(guò)一次操作后得到的集合可能是也可能得到等，可繼續(xù)對(duì)取定的實(shí)施操作過(guò)程，得到的新集合記作，……，如此經(jīng)過(guò)次操作后得到的新集合記作，設(shè)，對(duì)于，反復(fù)進(jìn)行上述操作過(guò)程，當(dāng)所得集合只有一個(gè)元素時(shí)，則所有可能的集合為______．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根據(jù)定義用運(yùn)算律證明實(shí)施的具體操作過(guò)程無(wú)關(guān)，再根據(jù)結(jié)果逆推求解.

解：由題可知中僅有一項(xiàng)，令

對(duì)于滿足的實(shí)數(shù)定義運(yùn)算：,

下面證明這種運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律.

因?yàn)?/span>,且,所以,即該運(yùn)算滿足交換律;

因?yàn)?/span>

且,

所以,即該運(yùn)算滿足結(jié)合律;

所以中的項(xiàng)與實(shí)施的具體操作過(guò)程無(wú)關(guān);

選擇如下操作過(guò)程求：由題可知;

易知;

所以：

易知經(jīng)過(guò)3次操作后剩下一項(xiàng)為,

故答案為：.