Question

定義一個“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它后一項的積都是同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫“等積數(shù)列”，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{a_n}是等積數(shù)列，且a₁=1，公積為3，則這個數(shù)列的前n項和S_n的計算公式為：

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件推導(dǎo)出a_n=

1，n為正奇數(shù) 3，n為正偶數(shù)

，由皮利用分類討論思想能求出Sn=

2n，n是正奇數(shù) 2n-1，n是正偶數(shù)

．

解答： 解：由題意得，a_na_n+1=3（n∈N₊），且a₁=1，
∴a₂=3，a₃=1，a₄=3，a₅=1，a₆=3，…
∴a_n=

1，n為正奇數(shù) 3，n為正偶數(shù)

，
當(dāng)n是偶數(shù)時，數(shù)列的奇數(shù)項數(shù)和為

n

2

，偶數(shù)項數(shù)和為

3n

2

，
則數(shù)列的前n項和S_n=2n，
當(dāng)n是奇數(shù)時，數(shù)列的奇數(shù)項數(shù)和是

n-1

2

+1=

n+1

2

，
偶數(shù)項數(shù)是

n-1

2

×3=

3n-3

2

，
則數(shù)列的前n項和Sn=

n+1

2

+

3n-3

2

=2n-1，
∴Sn=

2n，n是正奇數(shù) 2n-1，n是正偶數(shù)

．
故答案為：Sn=

2n，n是正奇數(shù) 2n-1，n是正偶數(shù)

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．