【題目】已知函數(shù).
(1)若是的一個極值點,判斷的單調(diào)性;
(2)若有兩個極值點,,且,證明:.
【答案】(1)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)見解析
【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù),由極值點求出參數(shù),確定的正負得的單調(diào)性;
(2)求出,得極值點滿足:
所以,由(1)即,不妨設(shè).要證,則只要證,而,因此由的單調(diào)性,只要能證,即即可.令,利用導(dǎo)數(shù)的知識可證得結(jié)論成立.
(1)由已知得.
因為是的一個極值點,所以,即,
所以,
令,則,
令,得,令,得;
所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,
又當(dāng)時,,,
所以當(dāng)時,,當(dāng)時,;
即在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.
(2),因此極值點滿足:
所以由(1)即,不妨設(shè).
要證,則只要證,而,因此由的單調(diào)性,只要能證,即即可.
令,
則,
當(dāng)時,,,,所以,
即在單調(diào)遞增,又,
所以,
所以,即,
又,,在單調(diào)遞增,
所以,即.
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【題目】某服裝店對過去100天其實體店和網(wǎng)店的銷售量(單位:件)進行了統(tǒng)計,制成頻率分布直方圖如下:
(1)若將上述頻率視為概率,已知該服裝店過去100天的銷售中,實體店和網(wǎng)店銷售量都不低于50件的概率為0.4,求過去100天的銷售中,實體店和網(wǎng)店至少有一邊銷售量不低于50件的天數(shù);
(2)若將上述頻率視為概率,已知該服裝店實體店每天的人工成本為500元,門市成本為1200元,每售出一件利潤為50元,求該門市一天獲利不低于800元的概率;
(3)根據(jù)銷售量的頻率分布直方圖,求該服裝店網(wǎng)店銷售量中位數(shù)的估計值(精確到0.01).
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【題目】已知數(shù)列的前項和為,且點在函數(shù)的圖像上;
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列滿足:,,求的通項公式;
(3)在第(2)問的條件下,若對于任意的,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
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【題目】有三張形狀、大小、質(zhì)地完全一致的卡片,在每張卡片上寫上0,1,2,現(xiàn)從中任意抽取一張,將其上數(shù)字記作x,然后放回,再抽取一張,其上數(shù)字記作y,令.求:
(1)所取各值的分布列;
(2)隨機變量的數(shù)學(xué)期望與方差.
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【題目】已知動圓過定點,且圓心到直線的距離比大.
(1)求動圓圓心的軌跡的方程;
(2)已知軌跡與直線相交于兩點.試問,在軸上是否存在一個定點使得是一個定值?如果存在,求出定點的坐標和這個定值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)設(shè)點,直線與曲線的交點為、,求的值.
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【題目】經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計,網(wǎng)民在網(wǎng)上光顧某淘寶小店,經(jīng)過一番瀏覽后,對該店鋪中的三種商品有購買意向.該淘寶小店推出買一種送5元優(yōu)惠券的活動.已知某網(wǎng)民購買商品的概率分別為,,,至少購買一種的概率為,最多購買兩種的概率為.假設(shè)該網(wǎng)民是否購買這三種商品相互獨立.
(1)求該網(wǎng)民分別購買兩種商品的概率;
(2)用隨機變量表示該網(wǎng)民購買商品所享受的優(yōu)惠券錢數(shù),求的分布列.
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【題目】有最大值,且最大值大于.
(1)求的取值范圍;
(2)當(dāng)時,有兩個零點,證明:.
(參考數(shù)據(jù):)
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【題目】為了打好脫貧攻堅戰(zhàn),某貧困縣農(nóng)科院針對玉米種植情況進行調(diào)研,力爭有效地改良玉米品種,為農(nóng)民提供技術(shù)支援,現(xiàn)對已選出的一組玉米的莖高進行統(tǒng)計,獲得莖葉圖如圖(單位:厘米),設(shè)莖高大于或等于180厘米的玉米為高莖玉米,否則為矮莖玉米.
(1)求出易倒伏玉米莖高的中位數(shù);
(2)根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表:
抗倒伏 | 易倒伏 | |
矮莖 | ||
高莖 |
(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,是否可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下,認為抗倒伏與玉米矮莖有關(guān)?
附:,
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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