Question

（本小題滿(mǎn)分15分）如圖，已知橢圓：＋＝1(a＞b＞0)的長(zhǎng)軸AB長(zhǎng)為4，離心率e＝，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)B的直線(xiàn)l與x軸垂直．P是橢圓上異于A(yíng)、B的任意一點(diǎn)，PH⊥x軸，H為垂足，延長(zhǎng)HP到點(diǎn)Q使得HP＝PQ，連結(jié)AQ延長(zhǎng)交直線(xiàn)于點(diǎn)M，N為的中點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）證明：Q點(diǎn)在以為直徑的圓上；
（3）試判斷直線(xiàn)QN與圓的位置關(guān)系．

Answer 1

(1)
(2)相切

解：（1）由題設(shè)可得，解得，∴．   （2分）
∴橢圓的方程為．                                 （4分）
（2）設(shè)，則．∵，∴．
∴．                                    （7分）
∴點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的的圓上．即點(diǎn)在以為直徑的圓上． （9分）
（3）設(shè)，則，且．又，
∴直線(xiàn)的方程為．令，得．又，為的中點(diǎn)，
∴．∴，．           （12分）
∴
．∴．                     （14分）
∴直線(xiàn)與圓相切．                                      （15分）