【題目】已知曲線(為參數(shù)),曲線,將的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍,縱坐標(biāo)縮短為原來的得到曲線.
(1)求曲線的普通方程,曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)為曲線上的任意一點(diǎn),為曲線上的任意一點(diǎn),求線段的最小值,并求此時(shí)的的坐標(biāo);
(3)過(2)中求出的點(diǎn)做一直線,交曲線于兩點(diǎn),求面積的最大值(為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出此時(shí)直線的方程.
【答案】(1)曲線:,曲線:;(2)最小值為,此時(shí);(3)最大值為,此時(shí).
【解析】
(1)通過變換求出曲線的參數(shù)方程然后化為普通方程,利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系,求解曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)由題意線段的最小值,轉(zhuǎn)為圓的圓心到直線的距離減去半徑,利用直線的垂直關(guān)系,即可求此時(shí)的P的坐標(biāo).(3)寫出三角形的面積公式即可得到最大值,并得到圓心O到直線l的距離,設(shè)出直線l的方程,利用圓心到直線的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.
(1)曲線(為參數(shù)),將的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍,
縱坐標(biāo)縮短為原來的得到曲線,化為普通方程為,
曲線,即,
可得直角坐標(biāo)方程為.
(2)設(shè),則線段的最小值為點(diǎn)P到直線的距離.
轉(zhuǎn)為圓心到直線的距離減去半徑,,
直線的斜率為-1,所以直線PQ的斜率為1,直線PQ方程為y=x,
聯(lián)立解得Q(1,1).
(3)由題意可得,
當(dāng),即時(shí)取到面積的最大值,
此時(shí)可知圓心O到直線l的距離為,
由題意可得直線l的斜率肯定存在并設(shè)為k,
則直線l的方程為y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0,
圓心到直線l的距離,解得,
所以直線l的方程為:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形中, , 為邊的中點(diǎn),將沿直線翻轉(zhuǎn)成.若為線段的中點(diǎn),則在翻折過程中:
①是定值;②點(diǎn)在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng);
③存在某個(gè)位置,使;④存在某個(gè)位置,使平面.
其中正確的命題是_________.
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【題目】若曲線C上任意一點(diǎn)與直線上任意一點(diǎn)的距離都大于1,則稱曲線C遠(yuǎn)離”直線,在下列曲線中,“遠(yuǎn)離”直線:y=2x的曲線有___________(寫出所有符合條件的曲線的編號(hào))
①曲線C:;②曲線C:;③曲線C:;
④曲線C:;⑤曲線C:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,四邊形CC1D1D為矩形,已知AB⊥BC1,AD=4,AB=2,BC=1.
(I)求證:BC1∥平面ADD1;
(II)若DD1=2,求平面AC1D1與平面ADD1所成的銳二面角的余弦值;
(III)設(shè)P為線段C1D上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(端點(diǎn)除外),判斷直線BC1與直線CP能否垂直?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值和最小值.設(shè)
(1)求的值
(2)若不等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】1642年,帕斯卡發(fā)明了一種可以進(jìn)行十進(jìn)制加減法的機(jī)械計(jì)算機(jī)年,萊布尼茨改進(jìn)了帕斯卡的計(jì)算機(jī),但萊布尼茲認(rèn)為十進(jìn)制的運(yùn)算在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)起來過于復(fù)雜,隨即提出了“二進(jìn)制”數(shù)的概念之后,人們對(duì)進(jìn)位制的效率問題進(jìn)行了深入的研究研究方法如下:對(duì)于正整數(shù),,我們準(zhǔn)備張不同的卡片,其中寫有數(shù)字0,1,…,的卡片各有張如果用這些卡片表示位進(jìn)制數(shù),通過不同的卡片組合,這些卡片可以表示個(gè)不同的整數(shù)例如,時(shí),我們可以表示出共個(gè)不同的整數(shù)假設(shè)卡片的總數(shù)為一個(gè)定值,那么進(jìn)制的效率最高則意味著張卡片所表示的不同整數(shù)的個(gè)數(shù)最大根據(jù)上述研究方法,幾進(jìn)制的效率最高?
A. 二進(jìn)制 B. 三進(jìn)制 C. 十進(jìn)制 D. 十六進(jìn)制
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【題目】在推導(dǎo)很多三角恒等變換公式時(shí),我們可以利用平面向量的有關(guān)知識(shí)來研究,在一定程度上可以簡(jiǎn)化推理過程.如我們就可以利用平面向量來推導(dǎo)兩角差的余弦公式:
具體過程如下:
如圖,在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓O,以為始邊作角.它們的終邊與單位圓O的交點(diǎn)分別為A,B.
則
由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,有:
設(shè)的夾角為θ,則
另一方面,由圖3.1—3(1)可知,;由圖可知,
.于是.
所以,也有,
所以,對(duì)于任意角有:()
此公式給出了任意角的正弦、余弦值與其差角的余弦值之間的關(guān)系,稱為差角的余弦公式,簡(jiǎn)記作.
有了公式以后,我們只要知道的值,就可以求得的值了.
閱讀以上材料,利用下圖單位圓及相關(guān)數(shù)據(jù)(圖中M是AB的中點(diǎn)),采取類似方法(用其他方法解答正確同等給分)解決下列問題:
(1)判斷是否正確?(不需要證明)
(2)證明:
(3)利用以上結(jié)論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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【題目】如圖,在四面體中,分別是線段的中點(diǎn),,,,直線與平面所成的角等于.
(Ⅰ)證明:平面平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
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【題目】某市有一特色酒店由一些完全相同的帳篷構(gòu)成.每座帳篷的體積為立方米,且分上下兩層,其中上層是半徑為(單位:米)的半球體,下層是半徑為米,高為米的圓柱體(如圖).經(jīng)測(cè)算,上層半球體部分每平方米建造費(fèi)用為2千元,下方圓柱體的側(cè)面、隔層和地面三個(gè)部分平均每平方米建造費(fèi)用為3千元,設(shè)每座帳篷的建造費(fèi)用為千元.
參考公式:球的體積,球的表面積,其中為球的半徑.
(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并指出該函數(shù)的定義域;
(2)當(dāng)半徑為何值時(shí),每座帳篷的建造費(fèi)用最小,并求出最小值.
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