精英家教網(wǎng)如圖,已知直線L:x=my+1過(guò)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A,F(xiàn),B在直線G:x=a2上的射影依次為點(diǎn)D,K,E,
(1)已知拋物線x2=4
3
y
的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn).
①求橢圓C的方程;
②若直線L交y軸于點(diǎn)M,且
MA
=λ1
AF
MB
=λ2
BF
,當(dāng)m變化時(shí),求λ12的值;
(2)連接AE,BD,試探索當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N?若交于定點(diǎn)N,請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)并給予證明;否則說(shuō)明理由.
分析:(1)由題設(shè)條件知c=1,a2=b2+c2=4,橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
,再由l與y軸交于M(0,-
1
m
)
,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由
x=my+1
3x2+4y2-12=0
,知(3m2+4)y2+6my-9=0,△=144(m2+1)>0,然后由根與系數(shù)的關(guān)系能求出λ12的值;
(2)由F(1,0),k=(a2,0),先探索m=0時(shí),直線L⊥ox軸,則ABED由對(duì)稱(chēng)性知,AE與BD相交FK中點(diǎn)N,且N(
a2+1
2
,0)
,再猜想:當(dāng)m變化時(shí),AE與BD相交于定點(diǎn)N(
a2+1
2
,0)
.然后結(jié)合題設(shè)條猜想進(jìn)行證明.
解答:解:(1)易知b=
3
,∴b2=3,又F(1,0),∴c=1,a2=b2+c2=4
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
(3分)
∵l與y軸交于M(0,-
1
m
)

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由
x=my+1
3x2+4y2-12=0

∴(3m2+4)y2+6my-9=0,△=144(m2+1)>0∴
1
y1
+
1
y2
=
2m
3
(*)
(5分)
又由
MA
=λ1
AF
,∴(x1,y1+
1
m
)=λ1(1-x1,-y1)

λ1=-1-
1
my1
同理λ2=-1-
1
my2

λ1+λ2=-2-
1
m
(
1
y1
+
1
y2
)=-2-
2
3
=-
8
3
(8分)

(3)∵F(1,0),k=(a2,0),
先探索,當(dāng)m=0時(shí),直線L⊥ox軸,則ABED由對(duì)稱(chēng)性知,AE與BD相交FK中點(diǎn)N,且N(
a2+1
2
,0)

猜想:當(dāng)m變化時(shí),AE與BD相交于定點(diǎn)N(
a2+1
2
,0)
(9分)
證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),E(a2,y2),D(a2,y1
當(dāng)m變化時(shí)首先AE過(guò)定點(diǎn)N
x=my+1
b2x2+a2y2-a2b2=0
,即(a2+b2m2)y2+2mb2y+b2(1-a2)=0
又△=4a2b2(a2+m2b2-1)>0(a>1)
又KAN=
-y1
a2-1
2
-my1
KEN=
-y2
1-a2
2

而KAN-KEN=
a2-1
2
(y1+y2)-my1y2
1-a2
2
(
a2-1
2
-my1)

(
a2-1
2
(y1+y2)-my1y2=
a2-1
2
•(-
2mb2
a2+m2b2
)-m•
b2(1-a2)
a2+m2b2
=
(a2-1)•(mb2-mb2)
a2+m2b2
=0)

∴KAN=KEN,∴A、N、E三點(diǎn)共線,
同理可得B、N、D三點(diǎn)共線
∴AE與BD相交于定點(diǎn)N(
a2+1
2
,0)
(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐曲線和直線的位置關(guān)系和綜合運(yùn)用,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意合理地進(jìn)行猜想.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知直線l:x=my+1過(guò)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
的右焦點(diǎn)F,拋物線:x2=4
3
y
的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn),且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、F、B在直線g:x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l交y軸于點(diǎn)M,且
MA
=λ1
AF
MB
=λ2
BF
,當(dāng)m變化時(shí),探求λ12的值是否為定值?若是,求出λ12的值,否則,說(shuō)明理由;
(Ⅲ)連接AE、BD,試證明當(dāng)m變化時(shí),直線AE與BD相交于定點(diǎn)N(
5
2
,0)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知直線l:x=my+4(m∈R)與x軸交于點(diǎn)P,交拋物線y2=2ax(a>0)于A,B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O是PQ的中點(diǎn),記直線AQ,BQ的斜率分別為k1,k2
(Ⅰ)若P為拋物線的焦點(diǎn),求a的值,并確定拋物線的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系.
(Ⅱ)試證明:k1+k2為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知直線L:x=my+1過(guò)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A,F(xiàn),B在直線G:x=a2上的射影依次為點(diǎn)D,K,E.
(1)若拋物線x2=4
3
y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn),求橢圓C的方程;
(2)連接AE,BD,證明:當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD相交于一定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•樂(lè)山二模)如圖,已知直線L:x=my+1過(guò)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、F、B在直線G;x=a2上的射影依次為點(diǎn)D、K、E,若拋物線x2=4
3
y的焦點(diǎn)為橢圓C的頂點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線L交y軸于點(diǎn)M,
MA
1
AF
,
MB
2
BF
,當(dāng)M變化時(shí),求λ12的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知直線L:x=my+1過(guò)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、B在直線G:x=a2上的射影依次為點(diǎn)D、E.
(1)若拋物線x2=4
3
y
的焦點(diǎn)為橢圓C 的上頂點(diǎn),求橢圓C的方程;(2)(理科生做)連接AE、BD,試探索當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N?若交于定點(diǎn)N,請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo),并給予證明;
否則說(shuō)明理由.
(文科生做)若N(
a2+1
2
,0)
為x軸上一點(diǎn),求證:
AN
NE

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