如圖,已知直線L:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點F,且交橢圓C于A,B兩點,點A,F(xiàn),B在直線G:x=a2上的射影依次為點D,K,E.
(1)若拋物線x2=4
3
y的焦點為橢圓C的上頂點,求橢圓C的方程;
(2)連接AE,BD,證明:當(dāng)m變化時,直線AE、BD相交于一定點.
分析:(1)易知b=
3
,c=1,結(jié)合a2=b2+c2可求橢圓的方程
(2)要證當(dāng)m變化時,直線AE、BD相交于一定點.先找m去特殊值(m=0)時AE與BD相交FK中點N(
1+a2
2
,0)
故猜想:當(dāng)m變化時,AE與BD相交于定點N(
1+a2
2
,0)
然后只要證明AN,EN 的斜率相等,從而可得A、N、E三點共線同理可得B、N、D三點共線即可
解答:解:(1)易知b=
3
,c=1,a2=b2+c2=4
∴橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1
(6分)
(2)∵F(1,0)
當(dāng)m=0時,直線L⊥ox軸,則ABED為矩形,
由對稱性知,AE與BD相交FK中點N,且N(
1+a2
2
,0)

猜想:當(dāng)m變化時,AE與BD相交于定點N(
1+a2
2
,0)
(8分)
證明:設(shè)A(x1,y1)B(x2,y2)E(a2,y2)D(a2,y1
當(dāng)m變化時首先AE過定點N
x=mu+1
b2x2+a2y2-a2b2=0
即(a2+b2m2)y2+2mb2y+b2(1-a2)=0
△=4a2b2(a2+m2b2-1)>0(a>1)
KAN=
-y1
a2-1
2
-my1
      KEN=
-y2
1-a2
2

KAN-KEN=
a2-1
2
(y1+y2)-my1y2
1-a2
2
(
a2-1
2
-my1)

a2-1
2
(y1+y2)-my1y2=
a2-1
2
(-
2mb2
a2+m2b2
)
-m
b2(1-a2)
a2+m2b2
=
(a2-1)(mb2-mb2)
a2+m2b2
=0

∴kAN=KEN∴A、N、E三點共線
同理可得B、N、D三點共線
∴AE與BD相交于定點N(
1+a2
2
,0)
(14分)
點評:本題主要考查了圓錐曲線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,而定義的靈活應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵直線與曲線的相交的一般思路是聯(lián)立方程組,通過方程的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知直線l:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
的右焦點F,拋物線:x2=4
3
y
的焦點為橢圓C的上頂點,且直線l交橢圓C于A、B兩點,點A、F、B在直線g:x=4上的射影依次為點D、K、E.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l交y軸于點M,且
MA
=λ1
AF
,
MB
=λ2
BF
,當(dāng)m變化時,探求λ12的值是否為定值?若是,求出λ12的值,否則,說明理由;
(Ⅲ)連接AE、BD,試證明當(dāng)m變化時,直線AE與BD相交于定點N(
5
2
,0)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直線l:x=my+4(m∈R)與x軸交于點P,交拋物線y2=2ax(a>0)于A,B兩點,坐標(biāo)原點O是PQ的中點,記直線AQ,BQ的斜率分別為k1,k2
(Ⅰ)若P為拋物線的焦點,求a的值,并確定拋物線的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系.
(Ⅱ)試證明:k1+k2為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•樂山二模)如圖,已知直線L:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點F,且交橢圓C于A、B兩點,點A、F、B在直線G;x=a2上的射影依次為點D、K、E,若拋物線x2=4
3
y的焦點為橢圓C的頂點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線L交y軸于點M,
MA
1
AF
,
MB
2
BF
,當(dāng)M變化時,求λ12的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直線L:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點F,且交橢圓C于A、B兩點,點A、B在直線G:x=a2上的射影依次為點D、E.
(1)若拋物線x2=4
3
y
的焦點為橢圓C 的上頂點,求橢圓C的方程;(2)(理科生做)連接AE、BD,試探索當(dāng)m變化時,直線AE、BD是否相交于一定點N?若交于定點N,請求出N點的坐標(biāo),并給予證明;
否則說明理由.
(文科生做)若N(
a2+1
2
,0)
為x軸上一點,求證:
AN
NE

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