如圖,已知直線l:x=my+4(m∈R)與x軸交于點P,交拋物線y2=2ax(a>0)于A,B兩點,坐標原點O是PQ的中點,記直線AQ,BQ的斜率分別為k1,k2
(Ⅰ)若P為拋物線的焦點,求a的值,并確定拋物線的準線與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系.
(Ⅱ)試證明:k1+k2為定值.
分析:(I)由直線方程算出P(4,0),從而得出a=8.設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),根據(jù)拋物線的定義列式,化簡可得M到準線的距離d恰好等于圓的半徑,從而得到直線與圓相切.
(II)直線l與拋物線消去x,得y2-2amy-8a=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系將k1+k2化成關(guān)于A、B坐標的式子,化簡整理可得k1+k2=0,即k1+k2為定值.
解答:解:(Ⅰ)由直線l:x=my+4得點P(4,0),故
a
2
=4⇒a=8
…(2分)
設(shè)交點A(x1,y1),B(x2,y2),它們的中點M(
x1+x2
2
,
y1+y2
2
)

設(shè)點M到拋物線的準線的距離為d,則d=
x1+x2
2
+4
,…(4分)
r=
1
2
|AB|=
x1+4+x2+4
2
=
x1+x2
2
+4
=d,
∴拋物線的準線與以AB為直徑的圓相切.…(6分)
(Ⅱ)由直線l:x=my+4得點P(4,0),∴Q(-4,0),
將直線l:x=my+4與拋物線的方程y2=2ax聯(lián)立得y2-2amy-8a=0,
∵△>0恒成立,
y1+y2=2am
y1y2=-8a
(*)
…(9分)
k1+k2=
y1
x1+4
+
y2
x2+4

=
y1(x2+4)+y2(x1+4)
(x1+4)(x2+4)
=
y1(my2+8)+y2(my1+8)
(x1+4)(x2+4)
…(11分)
k1+k2=
2my1y2+8(y1+y2)
(x1+4)(x2+4)
,代入(*)得k1+k2=0,故k1+k2為定值得征.…(13分)
點評:本題給出拋物線的焦點弦為直徑的圓,求該圓與準線的位置關(guān)系.著重考查了拋物線的定義、簡單幾何性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系和直線的斜率等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知直線l:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
的右焦點F,拋物線:x2=4
3
y
的焦點為橢圓C的上頂點,且直線l交橢圓C于A、B兩點,點A、F、B在直線g:x=4上的射影依次為點D、K、E.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l交y軸于點M,且
MA
=λ1
AF
,
MB
=λ2
BF
,當m變化時,探求λ12的值是否為定值?若是,求出λ12的值,否則,說明理由;
(Ⅲ)連接AE、BD,試證明當m變化時,直線AE與BD相交于定點N(
5
2
,0)

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知直線L:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點F,且交橢圓C于A,B兩點,點A,F(xiàn),B在直線G:x=a2上的射影依次為點D,K,E.
(1)若拋物線x2=4
3
y的焦點為橢圓C的上頂點,求橢圓C的方程;
(2)連接AE,BD,證明:當m變化時,直線AE、BD相交于一定點.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•樂山二模)如圖,已知直線L:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點F,且交橢圓C于A、B兩點,點A、F、B在直線G;x=a2上的射影依次為點D、K、E,若拋物線x2=4
3
y的焦點為橢圓C的頂點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線L交y軸于點M,
MA
1
AF
,
MB
2
BF
,當M變化時,求λ12的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,已知直線L:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點F,且交橢圓C于A、B兩點,點A、B在直線G:x=a2上的射影依次為點D、E.
(1)若拋物線x2=4
3
y
的焦點為橢圓C 的上頂點,求橢圓C的方程;(2)(理科生做)連接AE、BD,試探索當m變化時,直線AE、BD是否相交于一定點N?若交于定點N,請求出N點的坐標,并給予證明;
否則說明理由.
(文科生做)若N(
a2+1
2
,0)
為x軸上一點,求證:
AN
NE

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