精英家教網(wǎng)如圖,已知直線l:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
的右焦點(diǎn)F,拋物線:x2=4
3
y
的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn),且直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、F、B在直線g:x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l交y軸于點(diǎn)M,且
MA
=λ1
AF
,
MB
=λ2
BF
,當(dāng)m變化時(shí),探求λ12的值是否為定值?若是,求出λ12的值,否則,說明理由;
(Ⅲ)連接AE、BD,試證明當(dāng)m變化時(shí),直線AE與BD相交于定點(diǎn)N(
5
2
,0)
分析:(Ⅰ)由題設(shè)條件能夠求出c=1,b=
3
,從而求出橢圓C的方程.
(Ⅱ)設(shè)直線l交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立方程組,由根與系數(shù)的關(guān)系推導(dǎo)λ12的值.
(Ⅲ)由題設(shè)條件想辦法證明點(diǎn)N(
5
2
,0)
在既直線lAE上,又在直線lBD上,∴當(dāng)m變化時(shí),AE與BD相交于定點(diǎn)(
5
2
,0)
解答:解:(Ⅰ)易知橢圓右焦點(diǎn)F(1,0),∴c=1,
拋物線x2=4
3
y
的焦點(diǎn)坐標(biāo)(0,
3
)
,∴b=
3
∴b2=3
∴a2=b2+c2=4∴橢圓C的方程
x2
4
+
y2
3
=1


(Ⅱ)易知m≠0,且l與y軸交于M(0,-
1
m
)
,
設(shè)直線l交橢圓于A(x1,y1),B(x2,y2
x=my+1
x2
4
+
y2
3
=1
?(3m2+4)y2+6my-9=0

∴△=(6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0
y1+y2=-
6m
3m2+4
,y1y2=-
9
3m2+4

又由
MA
=λ1
AF
∴(x1,y1+
1
m
)=λ1(1-x1,-y1)

λ1=-1-
1
my1

同理λ2=-1-
1
my2

λ1+λ2=-2-
1
m
(
1
y1
+
1
y2
)

1
y1
+
1
y2
=
y1+y2
y1y2
=-
6m
3m2+4
•(-
3m2+4
9
)=
2m
3

λ1+λ2=-2-
1
m
(
1
y1
+
1
y2
)=-2-
1
m
2m
3
=-
8
3

所以,當(dāng)m變化時(shí),λ12的值為定值-
8
3
;
(Ⅲ)證明:由(Ⅱ)知A(x1,y1),B(x2,y2),∴D(4,y1),E(4,y2
方法1)∵lAE:y-y2=
y2-y1
4-x1
•(x-4)

當(dāng)x=
5
2
時(shí),y=y2+
y2-y1
4-x1
•(-
3
2
)=
2(4-x1)•y2-3(y2-y1)
2(4-x1)
=
2(4-my1-1)•y2-3(y2-y1)
2(4-x1)
=
3(y2+y1)-2my1y2
2(4-x1)

=
-6m
3m2+4
-2m×
-9
3m2+4
2(4-x1)
=0

∴點(diǎn)N(
5
2
,0)
在直線lAE上,
同理可證,點(diǎn)N(
5
2
,0)
也在直線lBD上;
∴當(dāng)m變化時(shí),AE與BD相交于定點(diǎn)(
5
2
,0)

方法2)∵kEN=
y2
4-
5
2
=
2y2
3
kAN=
y1
x1-
5
2
=
y1
my1+1-
5
2
=
2y1
2my1-3
kEN-kAN=
2y2
3
-
2y1
2my1-3
=
2y2(2my1-3)-6y1
3(2my1-3)

=
4my1y2-6(y1+y2)
3(2my1-3)
=
4m×
-9
3m2+4
-6×
-6m
3m2+4
3(2my1-3)
=0

∴kEN=kAN∴A、N、E三點(diǎn)共線,
同理可得B、N、D也三點(diǎn)共線;
∴當(dāng)m變化時(shí),AE與BD相交于定點(diǎn)(
5
2
,0)
點(diǎn)評:本題是橢圓的綜合應(yīng)用題,有一定的難度.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘隱含條件,仔細(xì)作答.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直線l:x=my+4(m∈R)與x軸交于點(diǎn)P,交拋物線y2=2ax(a>0)于A,B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O是PQ的中點(diǎn),記直線AQ,BQ的斜率分別為k1,k2
(Ⅰ)若P為拋物線的焦點(diǎn),求a的值,并確定拋物線的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系.
(Ⅱ)試證明:k1+k2為定值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直線L:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A,F(xiàn),B在直線G:x=a2上的射影依次為點(diǎn)D,K,E.
(1)若拋物線x2=4
3
y的焦點(diǎn)為橢圓C的上頂點(diǎn),求橢圓C的方程;
(2)連接AE,BD,證明:當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD相交于一定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•樂山二模)如圖,已知直線L:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、F、B在直線G;x=a2上的射影依次為點(diǎn)D、K、E,若拋物線x2=4
3
y的焦點(diǎn)為橢圓C的頂點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線L交y軸于點(diǎn)M,
MA
1
AF
,
MB
2
BF
,當(dāng)M變化時(shí),求λ12的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知直線L:x=my+1過橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦點(diǎn)F,且交橢圓C于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A、B在直線G:x=a2上的射影依次為點(diǎn)D、E.
(1)若拋物線x2=4
3
y
的焦點(diǎn)為橢圓C 的上頂點(diǎn),求橢圓C的方程;(2)(理科生做)連接AE、BD,試探索當(dāng)m變化時(shí),直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N?若交于定點(diǎn)N,請求出N點(diǎn)的坐標(biāo),并給予證明;
否則說明理由.
(文科生做)若N(
a2+1
2
,0)
為x軸上一點(diǎn),求證:
AN
NE

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同步練習(xí)冊答案