【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).
(1)證明:MN∥平面PAB;
(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.
【答案】
(1)
證明:取BC中點(diǎn)E,連結(jié)EN,EM,
∵N為PC的中點(diǎn),∴NE是△PBC的中位線,
∴NE∥PB,
又∵AD∥BC,∴BE∥AD,
∵AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,
∴BE= BC=AM=2,
∴四邊形ABEM是平行四邊形,
∴EM∥AB,∴平面NEM∥平面PAB,
∵M(jìn)N平面NEM,∴MN∥平面PAB
(2)
解:在△AMC中,由AM=2,AC=3,cos∠MAC= ,得CM2=AC2+AM2﹣2ACAMcos∠MAC=9+4- =5.
∴AM2+MC2=AC2,則AM⊥MC,
∵PA⊥底面ABCD,PA平面PAD,
∴平面ABCD⊥平面PAD,且平面ABCD∩平面PAD=AD,
∴CM⊥平面PAD,則平面PNM⊥平面PAD.
在平面PAD內(nèi),過(guò)A作AF⊥PM,交PM于F,連接NF,則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角.
在Rt△PAC中,由N是PC的中點(diǎn),得AN= ,
在Rt△PAM中,由PAAM=PMAF,得AF= ,
∴ .
∴直線AN與平面PMN所成角的正弦值為
【解析】(1)法一、取PB中點(diǎn)G,連接AG,NG,由三角形的中位線定理可得NG∥BC,且NG= BC,再由已知得AM∥BC,且AM= BC,得到NG∥AM,且NG=AM,說(shuō)明四邊形AMNG為平行四邊形,可得NM∥AG,由線面平行的判定得到MN∥平面PAB;
法二、證明MN∥平面PAB,轉(zhuǎn)化為證明平面NEM∥平面PAB,在△PAC中,過(guò)N作NE⊥AC,垂足為E,連接ME,由已知PA⊥底面ABCD,可得PA∥NE,通過(guò)求解直角三角形得到ME∥AB,由面面平行的判定可得平面NEM∥平面PAB,則結(jié)論得證;
(2)連接CM,證得CM⊥AD,進(jìn)一步得到平面PNM⊥平面PAD,在平面PAD內(nèi),過(guò)A作AF⊥PM,交PM于F,連接NF,則∠ANF為直線AN與平面PMN所成角.然后求解直角三角形可得直線AN與平面PMN所成角的正弦值.本題考查直線與平面平行的判定,考查直線與平面所成角的求法,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,考查了空間想象能力和計(jì)算能力,是中檔題.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
如圖,四棱錐P -ABCD的底面是矩形,側(cè)面PAD是正三角形,
且側(cè)面PAD⊥底面ABCD,E 為側(cè)棱PD的中點(diǎn)。
(1)求證:PB//平面EAC;
(2)求證:AE⊥平面PCD;
(3)當(dāng)為何值時(shí),PB⊥AC ?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知 R,函數(shù) = .
(1)當(dāng) 時(shí),解不等式 >1;
(2)若關(guān)于 的方程 + =0的解集中恰有一個(gè)元素,求 的值;
(3)設(shè) >0,若對(duì)任意 ,函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值與最小值的差不超過(guò)1,求 的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在海岸處發(fā)現(xiàn)北偏東方向,距處海里的處有一艘走私船,在處北偏西方向,距處海里的處的我方輯私船奉命以海里/小時(shí)的速度追截走私船,此時(shí)走私船正以海里/小時(shí)的速度,以處向北偏東方向逃竄.問(wèn):輯私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船?并求出所需時(shí)間.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,BC邊上的高所在直線的方程為x-2y+1=0,∠A的平分線所在的直線方程為y=0.若點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2),求點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列四個(gè)類比中,正確的個(gè)數(shù)為
(1)若一個(gè)偶函數(shù)在R上可導(dǎo),則該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)。將此結(jié)論類比到奇函數(shù)的結(jié)論為:若一個(gè)奇函數(shù)在R上可導(dǎo),則該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)。
(2)若雙曲線的焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的2倍,則此雙曲線的離心率為2.將此結(jié)論類比到橢圓的結(jié)論為:若橢圓的焦距是實(shí)軸長(zhǎng)的一半,則此橢圓的離心率為.
(3)若一個(gè)等差數(shù)列的前3項(xiàng)和為1,則該數(shù)列的第2項(xiàng)為.將此結(jié)論類比到等比數(shù)列的結(jié)論為:若一個(gè)等比數(shù)列的前3項(xiàng)積為1,則該數(shù)列的第2項(xiàng)為1
(4)在平面上,若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)比為1:2,則它們的面積比為1:4.將此結(jié)論類比到空間中的結(jié)論為:在空間中,若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)比為1:2,則它們的體積比為1:8.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x﹣ ,g(x)=x2﹣2ax+4,若任意x1∈[0,1],存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.設(shè)向量 =(a,c), =(cosC,cosA).
(1)若 ,c= a,求角A;
(2)若 =3bsinB,cosA= ,求cosC的值.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com