【題目】如圖，在三棱柱中，，.

（1）證明：；

（2）若，求二面角的余弦值.

【答案】(1)見解析(2)

【解析】試題分析：（1）易知△ 與△均為等邊三角形，點為的中點，可得，，進而得平面，從而得證；

（2）由勾股定理可得，從而以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，分別求平面的一個法向量和平面的一個法向量，利用法向量求解二面角即可..

試題解析：

（1）證明：設(shè)點為的中點，連接，，由，，知△與△均為等邊三角形，點為的中點，可得，，，相交于點，所以平面，又平面，所以．

（2）由（1）知△與△均是邊長為是等邊三角形，，又在△中，，由余弦定理得，所以，故，，以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系．

可得，，，，

，，，

設(shè)為平面的一個法向量，則

，得，同理可得平面的一個法向量為，

由，

所以，二面角的余弦值為．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地一商場記錄了月份某天當中某商品的銷售量（單位：）與該地當日最高氣溫（單位：）的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表：

（1）試求與的回歸方程；

（2）判斷與之間是正相關(guān)還是負相關(guān)；若該地月某日的最高氣溫是，試用所求回歸方程預測這天該商品的銷售量；

（3）假定該地月份的日最高氣溫，其中近似取樣本平均數(shù)，近似取樣本方差，試求.

附：參考公式和有關(guān)數(shù)據(jù)，，，若，則，且.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校為了推動數(shù)學教學方法的改革，學校將高一年級部分生源情況基本相同的學生分成甲、乙兩個班，每班各40人，甲班按原有模式教學，乙班實施教學方法改革.經(jīng)過一年的教學實驗，將甲、乙兩個班學生一年來的數(shù)學成績?nèi)∑骄鶖?shù)再取整，繪制成如下莖葉圖，規(guī)定不低于85分(百分制)為優(yōu)秀，甲班同學成績的中位數(shù)為74.

(1)求的值和乙班同學成績的眾數(shù)；

(2)完成表格，若有以上的把握認為“數(shù)學成績優(yōu)秀與教學改革有關(guān)”的話，那么學校將擴大教學改革面，請問學校是否要擴大改革面？說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù) .

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）討論函數(shù)零點的個數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；若存在極值點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某調(diào)查機構(gòu)隨機調(diào)查了歲到歲之間的位網(wǎng)上購物者的年齡分布情況，并將所得數(shù)據(jù)按照，，，，分成組，繪制成頻率分布直方圖（如圖）.

（1）求頻率分布直方圖中實數(shù)的值及這位網(wǎng)上購物者中年齡在內(nèi)的人數(shù)；

（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從參與調(diào)查的位網(wǎng)上購物者中隨機抽取人，再從這人中任選人，設(shè)這人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】響應(yīng)“文化強國建設(shè)”號召，某市把社區(qū)圖書閱覽室建設(shè)增列為重要的民生工程.為了解市民閱讀需求，隨機抽取市民200人做調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，樣本中所有人每天用于閱讀的時間（簡稱閱讀用時）都不超過3小時，其頻數(shù)分布表如下：（用時單位：小時）

用時分組

頻數(shù)

10

20

50

60

40

20

（1）用樣本估計總體，求該市市民每天閱讀用時的平均值；

（2）為引導市民積極參與閱讀，有關(guān)部門牽頭舉辦市讀書經(jīng)驗交流會，從這200人中篩選出男女代表各3名，其中有2名男代表和1名女代表喜歡古典文學．現(xiàn)從這6名代表中任選2名男代表和2名女代表參加交流會，求參加交流會的4名代表中，喜歡古典文學的男代表多于喜歡古典文學的女代表的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點在拋物線上，點是拋物線上的動點．

（1）求拋物線的方程及其準線方程；

（2）過點作拋物線的兩條切線，、分別為兩個切點，求面積的最小值．

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