【題目】如圖,菱形的邊長為,,與交于點(diǎn).將菱形沿對(duì)角線折起,得到三棱錐,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),.
(I)求證:平面⊥平面;
(II)求二面角的余弦值.
【答案】(1)詳見解析;(2)
【解析】試題分析:(Ⅰ)利用菱形的性質(zhì)與勾股定理推出平面,從而利用面面垂直的判定求證即可;(Ⅱ)以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,然后求得相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量,從而求得平面與的法向量,進(jìn)而利用空間夾角公式求解即可.
(Ⅰ)證明:是菱形,
,
中,,
又是中點(diǎn),
面面
又 平面
平面⊥平面
(Ⅱ)由題意, , 又由(Ⅰ)知 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,由條件易知
故 設(shè)平面的法向量,則
即 令,則
所以,
由條件易證平面,故取其法向量為
所以,
由圖知二面角為銳二面角,故其余弦值為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓 的離心率為,過橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與.當(dāng)直線的斜率為時(shí),.
(1)求橢圓的方程;
(2)求由,,,四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取名中學(xué)生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如表所示.
組號(hào) | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | 5 | ||
第2組 | ① | ||
第3組 | 30 | ② | |
第4組 | 20 | ||
第5組 | 10 |
(1)請(qǐng)先求出頻率分布表中位置的相應(yīng)數(shù)據(jù),再完成頻率分布直方圖;
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績高的第組中用分層抽樣抽取名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試,求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試;
(3)在(2)的前提下,學(xué)校決定在名學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生接受考官進(jìn)行面試,求:第組至少有一名學(xué)生被考官面試的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大型超市在2018年元旦舉辦了一次抽獎(jiǎng)活動(dòng),抽獎(jiǎng)箱里放有2個(gè)紅球,1個(gè)黃球和1個(gè)藍(lán)球(這些小球除顏色外大小形狀完全相同),從中隨機(jī)一次性取2個(gè)小球,每位顧客每次抽完獎(jiǎng)后將球放回抽獎(jiǎng)箱.活動(dòng)另附說明如下:
①凡購物滿100(含100)元者,憑購物打印憑條可獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì);
②凡購物滿188(含188)元者,憑購物打印憑條可獲得兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì);
③若取得的2個(gè)小球都是紅球,則該顧客中得一等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金是一個(gè)10元的紅包;
④若取得的2個(gè)小球都不是紅球,則該顧客中得二等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金是一個(gè)5元的紅包;
⑤若取得的2個(gè)小球只有1個(gè)紅球,則該顧客中得三等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金是一個(gè)2元的紅包.
抽獎(jiǎng)活動(dòng)的組織者記錄了該超市前20位顧客的購物消費(fèi)數(shù)據(jù)(單位:元),繪制得到如圖所示的莖葉圖.
(1)求這20位顧客中獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)的人數(shù)與抽獎(jiǎng)總次數(shù)(假定每位獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)的顧客都會(huì)去抽獎(jiǎng));
(2)求這20位顧客中獎(jiǎng)得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)的顧客的購物消費(fèi)數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)(結(jié)果精確到整數(shù)部分);
(3)分別求在一次抽獎(jiǎng)中獲得紅包獎(jiǎng)金10元,5元,2元的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】五一勞動(dòng)節(jié)放假,某商場(chǎng)進(jìn)行一次大型抽獎(jiǎng)活動(dòng).在一個(gè)抽獎(jiǎng)盒中放有紅、橙、黃、綠、藍(lán)、紫的小球各2個(gè),分別對(duì)應(yīng)1分、2分、3分、4分、5分、6分.從袋中任取3個(gè)小球,按3個(gè)小球中最大得分的8倍計(jì)分,計(jì)分在20分到35分之間即為中獎(jiǎng).每個(gè)小球被取出的可能性都相等,用表示取出的3個(gè)小球中最大得分,求:
(1)取出的3個(gè)小球顏色互不相同的概率;
(2)隨機(jī)變量的概率分布和數(shù)學(xué)期望;
(3)求某人抽獎(jiǎng)一次,中獎(jiǎng)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為,.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與橢圓交于,兩點(diǎn),與直線交于點(diǎn)M,且點(diǎn)P,M均在第四象限.若的面積是面積的2倍,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域是且,,當(dāng)時(shí),.
(1)求證:是奇函數(shù);
(2)求在區(qū)間上的解析式;
(3)是否存在正整數(shù),使得當(dāng)時(shí),不等式有解?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“大眾創(chuàng)業(yè),萬眾創(chuàng)新”是李克強(qiáng)總理在本屆政府工作報(bào)告中向全國人民發(fā)出的口號(hào).某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號(hào)召,大力研發(fā)新產(chǎn)品,為了對(duì)新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià),將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷,得到一組銷售數(shù)據(jù),如表所示:
試銷單價(jià)(元) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
產(chǎn)品銷量(件) | q | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知,.
(Ⅰ)求出的值;
(Ⅱ)已知變量,具有線性相關(guān)關(guān)系,求產(chǎn)品銷量(件)關(guān)于試銷單價(jià)(元)的線性回歸方程;
(Ⅲ)用表示用(Ⅱ)中所求的線性回歸方程得到的與對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計(jì)值.當(dāng)銷售數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的殘差的絕對(duì)值時(shí),則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個(gè)“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從6個(gè)銷售數(shù)據(jù)中任取2個(gè),求“好數(shù)據(jù)”至少有一個(gè)的概率.
(參考公式:線性回歸方程中,的最小二乘估計(jì)分別為,)
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