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【題目】已知函數的定義域是且，，當時，.

（1）求證：是奇函數；

（2）求在區(qū)間上的解析式；

（3）是否存在正整數，使得當時，不等式有解？證明你的結論.

【答案】（1）證明見解析； （2）， （3）不存在正整數滿足題意，證明見解析

【解析】

（1）由已知，得，進而結合，可得，結合奇函數的定義，即可得證；

（2）由，時，，結合已知．結合（1）中結論可得所求解析式；

（3）由（2）的結論及指數的運算性質，可將不等式轉化為二次不等式的形式，進而分析出對應函數在區(qū)間，上的單調性，即可得到結論．

解：（1）證明：由，得，

由得，

故是奇函數；

（2）當，時，，

，

而，

；

（3）當，，時，，，

，

因此，

不等式即為，

即．

令，對稱軸為，

因此函數在，上單調遞增，

因為，又為正整數，

所以，因此在，上恒成立，

因此不存在正整數使不等式有解．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知平面內兩點．

（1）求的中垂線方程；

（2）求過點且與直線平行的直線的方程；

（3）一束光線從點射向（2）中的直線，若反射光線過點，求反射光線所在的直線方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，菱形的邊長為，，與交于點．將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點是棱的中點，．

（I）求證：平面⊥平面；

（II）求二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】數列中，若，則下列命題中真命題個數是（ ）

（1）若數列為常數數列，則；

（2）若，數列都是單調遞增數列；

（3）若，任取中的項構成數列的子數（），則都是單調數列.

A.個B. 個C.個D.個

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某車間生產某種電子元件，如果生產出一件正品，可獲利200元，如果生產出一件次品，則損失100元．已知該車間制造電子元件的過程中，次品率與日產量的函數關系是：．

（1）寫出該車間的日盈利額（元）與日產量（件）之間的函數關系式；

（2）為使日盈利額最大，該車間的日產量應定為多少件？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】函數對于任意的都有，給出以下命題:

①在上是增函數；

②可能存在，使得對任意的恒成立；

③可能存在，使得成立；

④沒有最大值和最小值.

則正確的命題的個數為（ ）.

A.個B.個C.個D.個

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數：

（1）若，求y＝f（x）的最大值和最小值，并寫出相應的x值；

（2）將函數y＝f（x）的圖象向右平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數y＝g（x）的圖象，區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b）滿足：y＝g（x）在[a，b]上至少含有20個零點，在所有滿足上述條件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數f(x)=ax2–a–lnx，g(x)=，其中a∈R，e=2.718…為自然對數的底數.

（1）討論f(x) 的單調性；

（2）證明：當x＞1時，g(x)＞0；

（3）如果f(x)＞g(x) 在區(qū)間（1，+∞）內恒成立，求實數a的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的方程為，過點（為常數）作拋物線的兩條切線，切點分別為，.

（1）過焦點且在軸上截距為的直線與拋物線交于，兩點，，兩點在軸上的射影分別為，，且，求拋物線的方程；

（2）設直線，的斜率分別為，.求證：為定值.

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