Question

如圖所示，l₁，l₂是兩條互相垂直的海岸線，C為一海島，ABCD是一矩形漁場，為了擴(kuò)大漁業(yè)規(guī)模，將該漁場改建成一個更大的矩形漁場AMPN，要求點(diǎn)D，N在海岸線l₁上，點(diǎn)B，M在海岸線l₂上，且兩點(diǎn)M，N連線經(jīng)過海島C，已知AB=3km，AD=2km．
（1）要使矩形AMPN的面積大于32km²，則AN的長應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）當(dāng)AN的長度是多少時(shí)，矩形AMPN的面積最��？并求最小面積．
（3）若AN的長度不少于6km，則當(dāng)AN的長度是多少時(shí)，矩形AMPN的面積最��？并求出最小面積．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)AN=xkm（x＞2），（x＞2），則ND=x-2，由

ND

DC

=

AN

AM

可表示AM，從而可表示矩形AMPN的面積，解不等式可得；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)，根據(jù)單調(diào)可求矩形面積的最小值；
（3）利用導(dǎo)數(shù)可判斷函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，由此可求；

解答： 解：（1）設(shè)AN=xkm（x＞2），（x＞2），則ND=x-2，
∵

ND

DC

=

AN

AM

，
∴

x-2

3

=

x

AM

，∴AM=

3x

x-2

，
∴

3x

x-2

•x＞32，即3x²-32x+64＞0，
解得2＜x＜

8

3

或x＞8．
∴要使矩形AMPN的面積大于32km²，則AN的長的范圍為（2，

8

3

）∪（8，+∞）；
（2）SAMPN=

3x2

x-2

，S′=

6x(x-2)-3x2

(x-2)2

=

3x(x-4)

(x-2)2

，
令S′=0，當(dāng)2＜x＜4時(shí)，S′＜0，當(dāng)x＞4時(shí)，S′＞0，
∴x=4時(shí)，S取得極小值，也為最小值，
S_min=24，
∴當(dāng)AN=4時(shí)，矩形AMPN的面積最小，為24；
（3）由（2）知，當(dāng)x∈[6，+∞）時(shí)，S′＞0，即S在[6，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=6時(shí)S取得最小值，為

3×62

6-2

=27，
∴AN的長度不少于6km時(shí)，矩形AMPN的面積最小，為27．

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為背景，考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，考查學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的應(yīng)用性．