Question

已知點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）是拋物線y²=2px（p＞0）上的不同三點(diǎn)，若△ABC的重心是拋物線的焦點(diǎn)F，則y₁y₂+y₂y₃+y₁y₃=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用三角形重心的性質(zhì)，可得x₁+x₂+x₃=

3p

2

，y₁+y₂+y₃=0，利用2（y₁y₂+y₂y₃+y₁y₃）=y₂（y₁+y₃）+y₁（y₂+y₃）+y₃（y₁+y₂）=-y₂²-y₁²-y₃²=-2p（x₁+x₂+x₃），即可得出結(jié)論．

解答： 解：拋物線y²=2px的焦點(diǎn)F（

p

2

，0）
∵△ABC的重心是拋物線的焦點(diǎn)F，
∴x₁+x₂+x₃=

3p

2

，y₁+y₂+y₃=0，
∴2（y₁y₂+y₂y₃+y₁y₃）=y₂（y₁+y₃）+y₁（y₂+y₃）+y₃（y₁+y₂）=-y₂²-y₁²-y₃²=-2p（x₁+x₂+x₃）=-3p²，
∴y₁y₂+y₂y₃+y₁y₃=-

3

2

p²．
故答案為：-

3

2

p²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形重心的性質(zhì)，考查拋物線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．