【題目】已知函數(shù),(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),e≈2.718).對(duì)于任意的(0,e),在區(qū)間(0,e)上總存在兩個(gè)不同的,,使得==,則整數(shù)a的取值集合是_______.
【答案】
【解析】
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f(x)的值域,求出g(x)的單調(diào)性,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式組,求出a的范圍即可.
f′(x)=2(﹣x),
令f′(x)>0,解得:0<x<,
令f′(x)<0,解得:<x<e,
故f(x)在(0,)遞增,在(,e)遞減,
而f(0)=0,f()=2,f(e)=e(2﹣e),
故f(x)在(0,e)的值域是(0,2),
對(duì)于g(x)=lnx﹣ax+5,x∈(0,e),
a=0時(shí),g(x)=lnx+5,g(x)遞增,
在區(qū)間(0,e)上不存在兩個(gè)不同的x1,x2,使得g(x1)=g(x2),
不合題意,
a≠0時(shí),g′(x)=﹣a,令g′(x)=0,解得:x=,
若在區(qū)間(0,e)上總存在兩個(gè)不同的x1,x2,使得g(x1)=g(x2),
則只需0<<e,故a>,
令g′(x)>0,解得:0<x<,令g′(x)<0,解得:<x<e,
故g(x)在(0,)遞增,在(,e)遞減,
而x→0時(shí),g(x)→﹣∞,g()=﹣lna+4,g(e)=6﹣ae,
若對(duì)于任意的x0∈(0,e),在區(qū)間(0,e)上總存在兩個(gè)不同的x1,x2,
使得g(x1)=g(x2)=f(x0),
只需,解得:2.2≈≤a≤e2≈7.29,
故滿足條件的a的整數(shù)為:3,4,5,6,7,
故答案為:{3,4,5,6,7}.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知定點(diǎn),點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線與半徑相交于點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)過(guò)定點(diǎn)且斜率為的直線與的軌跡交于兩點(diǎn),若,求點(diǎn)到直線的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱中,,,,側(cè)面中心為O,點(diǎn)E是側(cè)棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),有下列判斷,正確的是( )
A.直三棱柱側(cè)面積是B.直三棱柱體積是
C.三棱錐的體積為定值D.的最小值為
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【題目】已知圓:,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓交于、兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),且.
(1)求的軌跡方程;
(2)當(dāng)時(shí),求的方程及的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(a>0且a≠1).
(1)若f(x)為定義域上的增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)令a=e,設(shè)函數(shù),且g(x1)+g(x2)=0,求證:x1+x2≥2+.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)利用“五點(diǎn)法”畫(huà)出函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間的簡(jiǎn)圖.
(2)并說(shuō)明該函數(shù)圖象可由的圖象經(jīng)過(guò)怎樣平移和伸縮變換得到的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】改革開(kāi)放以來(lái),人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來(lái),移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月,兩種移動(dòng)支付方式的使用情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中,兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用和僅使用的學(xué)生的支付金額分布情況如下:
交付金額(元) 支付方式 | 大于2000 | ||
僅使用 | 18人 | 9人 | 3人 |
僅使用 | 10人 | 14人 | 1人 |
(Ⅰ)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月,兩種支付方式都使用的概率;
(Ⅱ)從樣本僅使用和僅使用的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人,以表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,海島O上有一座海拔300m的山,山頂上設(shè)有一個(gè)觀察站A.上午11時(shí)測(cè)得一輪船在島北偏東的B處,俯角為;11時(shí)20分又測(cè)得該船在島的北偏西的C處,俯角為.
(1)該船的速度為每小時(shí)多少千米?
(2)若此船以不變的航速繼續(xù)前進(jìn),則它何時(shí)到達(dá)島的正西方向?此時(shí)船離開(kāi)島多少千米?(精確到lm)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓:的短軸長(zhǎng)為2,且橢圓過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線過(guò)定點(diǎn),且斜率為,若橢圓上存在,兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱,求的取值范圍.
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