Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=axex ， 其中常數(shù)a≠0，e為自然對數(shù)的底數(shù)． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅲ）若直線y=e（x﹣ ）是曲線y=f（x）的切線，求實數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=a（ex+xex）=a（1+x）ex ， 若a＞0，由f′（x）＞0得x＞﹣1，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣1，+∞），
由f′（x）＜0，得x＜﹣1，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣1），
若a＜0，由f′（x）＞0得x＜﹣1，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣1），
由f′（x）＜0，得x＞﹣1，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣1，+∞）；
（Ⅱ）當a=1時，由（1）得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣1，+∞），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（﹣∞，﹣1），
即當x=﹣1時，函數(shù)f（x）取得極大值為f（﹣1）=﹣ ，無極小值；
（Ⅲ）設(shè)切點為（m，amem），
則對應(yīng)的切線斜率k=f′（m）=a（1+m）em ，
則切線方程為y﹣amem=a（1+m）em（x﹣m），
即y=a（1+m）em（x﹣m）+amem=a（1+m）emx﹣ma（1+m）em+amem=a（1+m）emx﹣m2aem ，
∵y=e（x﹣ ）=y=ex﹣ e，
∴
∴ ，
即若直線y=e（x﹣ ）是曲線y=f（x）的切線，則實數(shù)a的值是
【解析】（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當a=1時，根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅲ）設(shè)出切點坐標為（m，amem），求出切線斜率和方程，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立方程關(guān)系即可求實數(shù)a的值．
【考點精析】通過靈活運用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題．