Question

【題目】如圖所示的幾何體中，為直三棱柱，四邊形為平行四邊形，，，.

（1）證明：四點(diǎn)共面，且；

（2）若，點(diǎn)是上一點(diǎn)，求四棱錐的體積，并判斷點(diǎn)到平面的距離是否為定值？請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析 （2）到平面的距離為定值，理由見解析

【解析】

（1）利用平行的傳遞性即可得到四邊形為平行四邊形，故，，，四點(diǎn)共面.根據(jù)已知得到，再利用勾股定理得到，即可證明平面，即.

（2）由（1）知平面，故四棱錐的高為，再計(jì)算其體積即可.因?yàn)?/span>∥，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，且等于.

（1）證明：因?yàn)?/span>為直三棱柱，

所以∥，且，又因?yàn)樗倪呅?/span>為平行四邊形，

所以∥，且，所以∥，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以，，，四點(diǎn)共面.

因?yàn)?/span>，又平面，

所以，所以四邊形為正方形，連接交于，

所以.

在中，，.

由余弦定理得，

所以，所以，

所以，又，

所以平面，所以，

又因?yàn)?/span>，所以平面；

所以.

（2）解：由（1）知：平面，

在△中，由已知得，所以，

所以四棱錐的體積.

因?yàn)?/span>∥，所以點(diǎn)到平面的距離為定值，

即為點(diǎn)到平面的距離.