【題目】將方格紙中每個小方格染三種顏色之一,使得每種顏色的小方格的個數(shù)相等.若相鄰兩個小方格的顏色不同,稱他們的公共邊為“分割邊”,則分割邊條數(shù)的最小值為( )
A.33B.56C.64D.78
【答案】B
【解析】
記分隔邊的條數(shù)為,首先將方格表按圖分成三個區(qū)域,, 分別染成三種顏色, 粗線上均為分隔邊,將方格表的行從上至下依次記為,列從左至右依次記為,行中方格出現(xiàn)的顏色為,列中方格出現(xiàn)的顏色為,三種顏色分別記為,對于一種顏色,設(shè)為含色方格的行數(shù)與列數(shù)之和,定義當(dāng)行含色方格時,,否則,類似的定義,計(jì)算得到,再證明,再證明對任意均有,,最后求出分隔邊條數(shù)的最小值.
記分隔邊的條數(shù)為,首先將方格表按圖分成三個區(qū)域,如圖:
分別染成三種顏色,粗線上均為分隔邊,此時共有56條分隔邊,則,
其次證明:,
將方格表的行從上至下依次記為,列從左至右依次記為,
行中方格出現(xiàn)的顏色為,列中方格出現(xiàn)的顏色為,
三種顏色分別記為,對于一種顏色,設(shè)為含色方格的行數(shù)與列數(shù)之和,
定義當(dāng)行含色方格時,,否則,
類似的定義,
所以
,
由于染色的格的行有個,列有個,則色的方格一定在這行和列的交叉方格中,從而,
所以所以①,
由于在行中有種顏色的方格,于是至少有條分隔邊,
類似地,在列中至少有條分隔邊,
則
②
③,
下面分兩種情況討論:
1、有一行或一列所有方格同色,不妨設(shè)為色,則方格表的33列中均含有色的方格,又色的方格有363個,
故至少有行含有色的方格,于是④,
由①③④得;
2、沒有一行也沒有一列所有方格同色,對任意均有,,
從而由②可得;
綜上所述,分隔邊條數(shù)的最小值為56.
故選:B
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【題目】已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時,f(x)=x2,對任意的x∈[t,t+2]不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,那么實(shí)數(shù)t的取值范圍是( 。
A. [,+∞) B. [2,+∞) C. (0,] D. [0,]
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【題目】一只紅螞蟻與一只黑螞蟻在一個單位圓(半徑為1的圓)上爬動,若兩只螞蟻均從點(diǎn)A(1,0)同時逆時針勻速爬動,若紅螞蟻每秒爬過α角,黑螞蟻每秒爬過β角(其中0°<α<β<180°),如果兩只螞蟻都在第14秒時回到A點(diǎn),并且在第2秒時均位于第二象限,求α,β的值.
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【題目】已知函數(shù)(為常數(shù)),曲線在與軸的交點(diǎn)A處的切線與軸平行.
(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在不相等的實(shí)數(shù)使成立,試比較與的大。
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【題目】設(shè)n為給定的大于2的整數(shù)。有n個外表上沒有區(qū)別的袋子,第k(k=1,2,···,n)個袋中有k個紅球,n-k個白球。將這些袋子混合后,任選一個袋子,并且從中連續(xù)取出三個球(每次取出不放回)。求第三次取出的為白球的概率。
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【題目】設(shè)f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x,aR.
(Ⅰ)令g(x)=f'(x),求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)已知f(x)在x=1處取得極大值.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】如圖,是的直徑,點(diǎn)B是上與A,C不重合的動點(diǎn),平面.
(1)當(dāng)點(diǎn)B在什么位置時,平面平面,并證明之;
(2)請判斷,當(dāng)點(diǎn)B在上運(yùn)動時,會不會使得,若存在這樣的點(diǎn)B,請確定點(diǎn)B的位置,若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)試判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使函數(shù)的極值大于?若存在,求的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,長方體的長,寬,高分別為4,3,5,現(xiàn)有一甲殼蟲從點(diǎn)出發(fā)沿長方體表面爬行到點(diǎn)來獲取食物.
(1)甲殼蟲想盡快獲取食物可通過哪些路徑獲取?
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(3)此類問題的一般處理方法是什么?
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