【題目】方格紙中每個小方格染三種顏色之一,使得每種顏色的小方格的個數(shù)相等.若相鄰兩個小方格的顏色不同,稱他們的公共邊為分割邊,則分割邊條數(shù)的最小值為(

A.33B.56C.64D.78

【答案】B

【解析】

記分隔邊的條數(shù)為,首先將方格表按圖分成三個區(qū)域,, 分別染成三種顏色, 粗線上均為分隔邊,將方格表的行從上至下依次記為,列從左至右依次記為,行中方格出現(xiàn)的顏色為,列中方格出現(xiàn)的顏色為,三種顏色分別記為,對于一種顏色,設(shè)為含色方格的行數(shù)與列數(shù)之和,定義當(dāng)行含色方格時,,否則,類似的定義,計(jì)算得到,再證明,再證明對任意均有,,最后求出分隔邊條數(shù)的最小值.

記分隔邊的條數(shù)為,首先將方格表按圖分成三個區(qū)域,如圖:


分別染成三種顏色,粗線上均為分隔邊,此時共有56條分隔邊,則

其次證明:,

將方格表的行從上至下依次記為,列從左至右依次記為,

中方格出現(xiàn)的顏色為,列中方格出現(xiàn)的顏色為,

三種顏色分別記為,對于一種顏色,設(shè)為含色方格的行數(shù)與列數(shù)之和,

定義當(dāng)行含色方格時,,否則,

類似的定義

所以

,

由于染色的格的行有個,列有個,則色的方格一定在這行和列的交叉方格中,從而,

所以所以①,

由于在行中有種顏色的方格,于是至少有條分隔邊,

類似地,在列中至少有條分隔邊,

③,

下面分兩種情況討論:

1、有一行或一列所有方格同色,不妨設(shè)為色,則方格表的33列中均含有色的方格,又色的方格有363個,

故至少有行含有色的方格,于是④,

由①③④得

2、沒有一行也沒有一列所有方格同色,對任意均有,

從而由②可得;

綜上所述,分隔邊條數(shù)的最小值為56.

故選:B

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