【題目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,且AB=AA1 , ∠A1AB=∠A1AD=60°.
(1)求證:平面A1BD⊥平面A1AC;
(2)若BD= D=2,求平面A1BD與平面B1BD所成角的大。
【答案】
(1)證明:因?yàn)锳A1=AB=AD,∠A1AB=∠A1AD=60°,
所以△A1AB和△A1AD均為正三角形,
于是A1B=A1D
設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,則A1O⊥BD
又ABCD是菱形,所以AC⊥BD
而A1O∩AC=O,所以BD⊥平面A1AC
而BD平面A1BD,故平面A1BD⊥平面A1AC
(2)解:由A1B=A1D及 ,知A1B⊥A1D
又由A1D=AD,A1B=AB,BD=BD,得△A1BD≌△ABD,故∠BAD=90°
于是 ,從而A1O⊥AO,結(jié)合A1O⊥BD
得A1O⊥底面ABCD
如圖,以O(shè)為原點(diǎn),OA,OB,OA1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(1,0,0),B(0,1,0),D(0,﹣1,0),A1(0,0,1),
,
設(shè)平面B1BD的一個法向量為 ,由 得 ,
令x=1,得
平面A1BD的一個法向量為 ,設(shè)平面A1BD與平面B1BD所成角為θ,
則
解得θ=45°,
故平面A1BD與平面B1BD所成角的大小為45°.
【解析】(1)推導(dǎo)出△A1AB和△A1AD均為正三角形,A1O⊥BD,AC⊥BD,由此能證明平面A1BD⊥平面A1AC.(2)以O(shè)為原點(diǎn),OA,OB,OA1所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出平面A1BD與平面B1BD所成角的大。
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用平面與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知兩動圓F1:(x+ )2+y2=r2和F2:(x﹣ )2+y2=(4﹣r)2(0<r<4),把它們的公共點(diǎn)的軌跡記為曲線C,若曲線C與y軸的正半軸的交點(diǎn)為M,且曲線C上的相異兩點(diǎn)A,B滿足: =0.
(1)求曲線C的方程;
(2)證明直線AB恒經(jīng)過一定點(diǎn),并求此定點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)求△ABM面積S的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校從參加高三年級期末統(tǒng)考測試的學(xué)生中抽出80名學(xué)生,其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)估計這次測試數(shù)學(xué)成績的中位數(shù);
(Ⅱ)假設(shè)在[90,100]段的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都不相同,且都超過94分.若將頻率視為概率,現(xiàn)用簡單隨機(jī)抽樣的方法,從95,96,97,98,99,100這6個數(shù)中任意抽取3個數(shù),有放回地抽取了3次,記這3次抽取中,恰好是三個學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的次數(shù)為,求的分布列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】中石化集團(tuán)獲得了某地深海油田塊的開采權(quán),集團(tuán)在該地區(qū)隨機(jī)初步勘探了部分幾口井,取得了地質(zhì)資料.進(jìn)入全面勘探時期后,集團(tuán)按網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)米布置井位進(jìn)行全面勘探.由于勘探一口井的費(fèi)用很高,如果新設(shè)計的井位與原有井位重合或接近,便利用舊井的地質(zhì)資料,不必打這口新井,以節(jié)約勘探費(fèi)用,勘探初期數(shù)據(jù)資料見下表:
井號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
坐標(biāo)(x,y)(km) | (2,30) | (4,40) | (5,60) | (6,50) | (8,70) | (1,y) |
鉆探深度(km) | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10 |
出油量(L) | 40 | 70 | 110 | 90 | 160 | 205 |
(Ⅰ)1~6號舊井位置線性分布,借助前5組數(shù)據(jù)求得回歸直線方程為y=6.5x+a,求a,并估計y的預(yù)報值;
(Ⅱ)現(xiàn)準(zhǔn)備勘探新井7(1,25),若通過1、3、5、7號井計算出的,的值(,精確到0.01)與(I)中b,a的值差不超過10%,則使用位置最接近的已有舊井6(1,y),否則在新位置打開,請判斷可否使用舊井?(參考公式和計算結(jié)果:,,,)
(Ⅲ)設(shè)出油量與勘探深度的比值k不低于20的勘探井稱為優(yōu)質(zhì)井,那么在原有6口井中任意勘探4口井,求勘探優(yōu)質(zhì)井?dāng)?shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系.圓C1 , 直線C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4sinθ,ρcos( )=2 .
(1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)設(shè)P為C1的圓心,Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn),已知直線PQ的參數(shù)方程為 (t∈R為參數(shù)),求a,b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正方體的棱長為,點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn),點(diǎn)在平面內(nèi),點(diǎn)在線段上,若,則的最小值為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線l經(jīng)過拋物線x2=4y的焦點(diǎn),且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求拋物線準(zhǔn)線方程;
(2)若△AOB的面積為4,求直線l的方程.
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