Question

已知橢圓：（）的焦距為，且過點.

（1）求橢圓的方程和離心率；

（2）設(shè)（）為橢圓上一點，過點作軸的垂線，垂足為.取點，連

結(jié)，過點作的垂線交軸于點，點是點關(guān)于軸的對稱點.試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

 

Answer 1

（1）橢圓的方程為， 離心率；（2）直線與橢圓相切，證明過程詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)條件橢圓：的焦距為，且過點，因此可以建立關(guān)于，的方程組：，從而解得，因此橢圓方程為，離心率；（2）根據(jù)題意可知，要判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，只需將直線與橢圓的方程聯(lián)立，并判斷消去以后的一元二次方程組的根的情況即可，聯(lián)系（1），從而將問題轉(zhuǎn)化為求直線的表達(dá)式，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求點的坐標(biāo)，再利用條件點是點關(guān)于軸的對稱點，因此只需求得點的坐標(biāo)即可，而根據(jù)條件，可求得，從而，故方程為，聯(lián)立方程組 ，

代入消元得 ，利用，化簡得，

∴，故方程組有兩組相同的實數(shù)解，∴直線與橢圓相切. .

試題解析：（1）由題設(shè)，得， 2分

解得，故橢圓的方程為，4分 離心率；5分

（2）由題意知點，設(shè)點，則，又，

由，得，，， 7分

由點是點關(guān)于軸的對稱點，得點，8分

直線的斜率為，

∵點在橢圓上，故，即，

∴直線的斜率為，其方程為， 10分

聯(lián)立方程組 ，11分 代入消元得 ，

利用，化簡得， 12分

∴，故方程組有兩組相同的實數(shù)解，∴直線與橢圓相切. 13分.

考點：1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.