Question

（本小題滿分14分）已知圓經(jīng)過第一象限，與軸相切于點，且圓上的點到軸的最大距離為2，過點作直線．

（1）求圓的標準方程；

（2）當直線與圓相切時，求直線的方程；

（3）當直線與圓相交于、兩點，且滿足向量，時，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）； （2）或；（3）·

【解析】

試題分析：（1）依題意圓經(jīng)過第一象限，且與軸相切于點，故圓M的圓心在的正半軸，而圓上的點到軸的最大距離為2，∴圓M的半徑為2，∴圓的標準方程為； （2）直線過點，且與圓相切，當的斜率不存在時，直線的方程為，當的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，由圓心到直線的距離等于半徑得，從而，直線的方程為 ；（3）由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與圓的方程得，得，且，，由向量得，消去、得，從而，由弦長公式得且，故.

試題解析：（1）因為圓經(jīng)過第一象限，與軸相切于點，得知圓的圓心在的正半軸上； 1分

由圓上的點到軸的最大距離為2，得知圓的圓心為，，半徑為2． 2分

所以圓的標準方程為． 4分

（2）若直線的斜率存在，設(shè)的斜率為，則直線的方程為，

因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑得，解得，直線的方程：；

若直線的斜率不存在，由直線與圓相切得直線的方程： 6分

所以，直線的方程為或． 8分

（3）由直線與圓相交于、兩點知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，點、，則直線的方程為，

由得，

即，，，

由向量，得，

由，，消去、得，

即，，化簡得． 11分

且，即． 13分

所以的取值范圍是． 14分

考點：直線和圓的位置關(guān)系