【題目】已知F為橢圓C: + =1的右焦點,橢圓C上任意一點P到點F的距離與點P到直線l:x=m的距離之比為 ,求:
(1)直線l方程;
(2)設A為橢圓C的左頂點,過點F的直線交橢圓C于D、E兩點,直線AD、AE與直線l分別相交于M、N兩點.以MN為直徑的是圓是否恒過一定點,若是,求出定點坐標,若不是請說明理由.
【答案】
(1)解:由橢圓C: + =1,可得a=2,c=1,右焦點F(1,0),其離心率e= .
∵橢圓C上任意一點P到點F的距離與點P到直線l:x=m的距離之比為 ,
∴ =4.
∴直線l方程為:x=4
(2)解:當DE⊥x軸時,把x=1代入橢圓方程解得y= ,∴D ,E .
可得直線AD的方程:y= ,解得M(4,3),同理可得N(4,﹣3),
可得以MN為直徑的圓過點F(1,0),G(7,0).
下面證明以MN為直徑的圓恒過上述兩定點.
證明:設直線DE的方程為:my=x﹣1,D(x1,y1),E(x2,y2).
聯立 ,化為(3m2+4)y2+6my﹣9=0,
∴y1+y2=﹣ ,y1y2= .
直線AD的方程為:y= ,可得M ,
同理可得N .
∴ = =9+
=9+ =9﹣9=0,
∴以MN為直徑的圓恒過一定點F(1,0),G(7,0).
同理可證:以MN為直徑的圓恒過一定點G(7,0).
因此以MN為直徑的圓恒過一定點F(1,0),(7,0).
【解析】(1)利用橢圓的標準方程及其橢圓的第二定義即可得出;(2)當DE⊥x軸時,把x=1代入橢圓方程解得D ,E .可得直線AD的方程:y= ,解得M,N,可得以MN為直徑的圓過點F(1,0),G(7,0). 下面證明以MN為直徑的圓恒過上述兩定點.設直線DE的方程為:my=x﹣1,D(x1 , y1),E(x2 , y2).與橢圓方程聯立化為(3m2+4)y2+6my﹣9=0,直線AD的方程為:y= ,可得M ,同理可得N .利用根與系數的關系可證明 =0,即可得出結論.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設a,b為兩條直線,α,β為兩個平面,下列四個命題中,正確的命題是( )
A.若a,b與α所成的角相等,則α∥b
B.若a∥α,b∥β,α∥β,則a∥b
C.若aα,bβ,α∥b,則α∥β
D.若a⊥α,b⊥β,α⊥β,是a⊥b
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某學校研究性學習小組對該校高三學生視力情況進行調查,在高三的全體1000名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表,學習小組成員發(fā)現,學習成績突出的學生,近視的比較多,為了研究學生的視力與學習成績是否有關系,對年級名次在1~50名和951~1000名的學生進行了調查,得到如下數據:
(1)根據表中的數據,能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系?
(2)根據表中數據,在調查的100名學生中,按照分層抽樣在不近視的學生中抽取了9人,進一步調查他們良好的護眼習慣,并且在這9人中任取3人,記名次在1~50名的學生人數為X,求X的分布列和數學期望.
年級名次 | 1~50 | 951~1000 |
近視 | 41 | 32 |
不近視 | 9 | 18 |
附:P(K2≥3.841=0.05)K2= .
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ<0)的最小正周期為π,且f( )= .
(1)求ω和φ的值;
(2)求f(x)的單調遞增區(qū)間;
(3)求f(x)在[0, ]上的值域.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知集合A={x|y= },B={x|log2x≤1},則A∩B=( )
A.{x|﹣3≤x≤1}
B.{x|0<x≤1}
C.{x|﹣3≤x≤2}
D.{x|x≤2}
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