【題目】已知函數(shù).

(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若恒成立,試確定實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)證明.

【答案】(1)函數(shù)的遞增區(qū)間為,函數(shù)的遞減區(qū)間為;(2);(3)見解析.

【解析】試題分析:(1)先求導(dǎo)數(shù),再確定導(dǎo)函數(shù)在定義區(qū)間上零點(diǎn)情況:當(dāng)k≤0時(shí),導(dǎo)函數(shù)恒大于零,為增函數(shù);當(dāng)k0時(shí),由一個(gè)零點(diǎn)x=,先減后增(2)不等式恒成立問題,一般轉(zhuǎn)化Wie對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題,即,結(jié)合(1)的單調(diào)性情況,可得k0f=ln≤0解得k≥1,(3)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,一般方法為構(gòu)造恰當(dāng)函數(shù),利用其增減性進(jìn)行證明:因?yàn)?/span>k=1時(shí),fx≤0恒成立,即lnx﹣1)<x﹣2,令,則,代入疊加得證

試題解析:(I∵fx=lnx﹣1﹣kx﹣1+1,(x1

∴f′x=﹣k

當(dāng)k≤0時(shí),f′x)>0恒成立,故函數(shù)在(1,+∞)為增函數(shù),

當(dāng)k0時(shí),令f′x=0,得x=

當(dāng)f′x)<0,即1x時(shí),函數(shù)為減函數(shù),

當(dāng)f′x)>0,即x時(shí),函數(shù)為增函數(shù),

綜上所述,當(dāng)k≤0時(shí),函數(shù)fx)在(1+∞)為增函數(shù),

當(dāng)k0時(shí),函數(shù)fx)在(1,)為減函數(shù),在(+∞)為增函數(shù).

)由(1)知,當(dāng)k≤0時(shí),f′x)>0函數(shù)fx)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,fx≤0不恒成立,

當(dāng)k0時(shí),函數(shù)fx)在(1,)為減函數(shù),在(,+∞)為增函數(shù).

當(dāng)x=時(shí),fx)取最大值,f=ln≤0

∴k≥1,即實(shí)數(shù)k的取值范圍為[1,+∞

)由(2)知k=1時(shí),fx≤0恒成立,即lnx﹣1)<x﹣2

1﹣,

===

x=3,4,5…n,n+1累加得

+…++++…+=,(n∈N,n1).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】甲、乙兩位同學(xué)玩游戲,對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a1 , 按下列方法操作一次產(chǎn)生一個(gè)新的實(shí)數(shù):由甲、乙同時(shí)各擲一枚均勻的硬幣,如果出現(xiàn)兩個(gè)正面朝上或兩個(gè)反面朝上,則把a(bǔ)1乘以2后再減去12;如果出現(xiàn)一個(gè)正面朝上,一個(gè)反面朝上,則把a(bǔ)1除以2后再加上12,這樣就可以得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)a2 , 對(duì)實(shí)數(shù)a2仍按上述方法進(jìn)行一次操作,又得到一個(gè)新的實(shí)數(shù)a3 , 當(dāng)a3>a1 , 甲獲勝,否則乙獲勝,若甲獲勝的概率為 ,則a1的取值范圍是(
A.(﹣∞,12]
B.[24,+∞)
C.(12,24)
D.(﹣∞,12]∪[24,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知:sin230°+sin290°+sin2150°= ,sin25°+sin265°+sin2125°= .通過觀察上述兩等式的規(guī)律,請(qǐng)你寫出一般性的命題,并給出證明.

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【題目】如圖是2012年在某大學(xué)自主招生考試的面試中,七位評(píng)委為某考生打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為(

7

9

8

4

4

6

4

7

9

3


A.84,4.84
B.84,1.6
C.85,1.6
D.85,4

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【題目】設(shè)點(diǎn)M(x,y)在|x|≤1,|y|≤1時(shí)按均勻分布出現(xiàn),試求滿足:
(1)x+y≥0的概率;
(2)x+y<1的概率;
(3)x2+y2≥1的概率.

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【題目】某校為選拔參加“央視猜燈謎大賽”的隊(duì)員,在校內(nèi)組織猜燈謎競(jìng)賽.規(guī)定:第一階段知識(shí)測(cè)試成績(jī)不小于分的學(xué)生進(jìn)入第二階段比賽.現(xiàn)有名學(xué)生參加知識(shí)測(cè)試,并將所有測(cè)試成績(jī)繪制成如下所示的頻率分布直方圖.

(1)估算這名學(xué)生測(cè)試成績(jī)的中位數(shù),并求進(jìn)入第二階段比賽的學(xué)生人數(shù);

(2)將進(jìn)入第二階段的學(xué)生分成若干隊(duì)進(jìn)行比賽.現(xiàn)甲、乙兩隊(duì)在比賽中均已獲得分,進(jìn)入最后強(qiáng)答階段.搶答規(guī)則:搶到的隊(duì)每次需猜條謎語,猜對(duì)條得分,猜錯(cuò)條扣分.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),甲隊(duì)猜對(duì)每條謎語的概率均為,乙隊(duì)猜對(duì)每條謎語的概率均為,猜對(duì)第條的概率均為.若這兩條搶到答題的機(jī)會(huì)均等,您做為場(chǎng)外觀眾想支持這兩隊(duì)中的優(yōu)勝隊(duì),會(huì)把支持票投給哪隊(duì)?

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【題目】已知F為橢圓C: + =1的右焦點(diǎn),橢圓C上任意一點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離與點(diǎn)P到直線l:x=m的距離之比為 ,求:
(1)直線l方程;
(2)設(shè)A為橢圓C的左頂點(diǎn),過點(diǎn)F的直線交橢圓C于D、E兩點(diǎn),直線AD、AE與直線l分別相交于M、N兩點(diǎn).以MN為直徑的是圓是否恒過一定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo),若不是請(qǐng)說明理由.

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【題目】設(shè)函數(shù).

(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;

(2)設(shè),對(duì)任意,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù) 為常數(shù),e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線與x軸平行. (Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè)g(x)=(x2+x)f′(x),其中f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).證明:對(duì)任意x>0,g(x)<1+e2

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