Question

【題目】漳州水仙鱗莖碩大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟麗，有“天下水仙數(shù)漳州”之美譽．現(xiàn)某水仙花雕刻師受雇每天雕刻250粒水仙花，雕刻師每雕刻一粒可賺1.2元，如果雕刻師當天超額完成任務，則超出的部分每粒多賺0.5元；如果當天未能按量完成任務，則按完成的雕刻量領取當天工資． （Ⅰ）求雕刻師當天收入（單位：元）關于雕刻量n（單位：粒，n∈N）的函數(shù)解析式f（n）；
（Ⅱ）該雕刻師記錄了過去10天每天的雕刻量n（單位：粒），整理得如表：

雕刻量n	210	230	250	270	300
頻數(shù)	1	2	3	3	1

以10天記錄的各雕刻量的頻率作為各雕刻量發(fā)生的概率．
（�。┰诋斕斓氖杖氩坏陀�276元的條件下，求當天雕刻量不低于270個的概率；
（ⅱ）若X表示雕刻師當天的收入（單位：元），求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】解：（I）當n≥250時，f（n）=250×1.2+1.7×（n﹣250）=1.7n﹣125，

當n＜250時，f（n）=1.2n，

所以 ．

（ II）（�。┰O當天的收入不低于276元為事件A，設當天雕刻量不低于270個為事件B，

由（I）得“利潤不低于276元”等價于“雕刻量不低于230個”，則P（A）=0.9，

所以 ．

（ⅱ）由題意得f（210）=252，f（230）=276，f（250）=300，f（270）=334，f（300）=385，X的可能取值為252，276，300，334，385．

所以P（X=252）=0.1，P（X=276）=0.2，P（X=300）=0.3，P（X=334）=0.3，P（X=385）=0.1，（10分）X的分布列為

X	252	276	300	334	385
P	0.1	0.2	0.3	0.3	0.1

∴E（X）=252×0.1+276×0.2+300×0.3+334×0.3+385×0.1=309.1（元）

【解析】（I）利用一次函數(shù)的解析式，分別得出當n≥250時，f（n）=250×1.2+1.7×（n﹣250）；當n＜250時，f（n）=1.2n．（ II）（�。┰O當天的收入不低于276元為事件A，設當天雕刻量不低于270個為事件B，由（I）得“利潤不低于276元”等價于“雕刻量不低于230個”，可得P（A）=0.9，再利用條件概率計算公式可得．（ⅱ）由題意得f（210）=252，f（230）=276，f（250）=300，f（270）=334，f（300）=385，X的可能取值為252，276，300，334，385．即可得出分布列與數(shù)學期望．
【考點精析】掌握離散型隨機變量及其分布列是解答本題的根本，需要知道在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．