Question

9．已知數(shù)列{a_n}中各項都大于1，前n項和為S_n，且滿足a_n²+3a_n=6S_n-2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）求使得T_n＜$\frac{m}{36}$對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

分析 （1）由6S_n=a_n²+3a_n+2，當(dāng)n≥2時，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，a_n²-a_n-1²=3a_n+3a_n-1，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=3（a_n+a_n-1），由a_n+a_n-1≠0，a_n-a_n-1=3，當(dāng)n=1時，a₁=2，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），利用“裂項法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n；
（3）由題意可得T_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$）＜$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，即$\frac{m}{36}$≥$\frac{1}{6}$，即可求得對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

解答 解：（1）由a_n²+3a_n=6S_n-2，即6S_n=a_n²+3a_n+2，
當(dāng)n≥2時，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，
兩式相減得：6a_n=a_n²-a_n-1²+3a_n-3a_n-1，整理得：a_n²-a_n-1²=3a_n+3a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=3（a_n+a_n-1），
∵數(shù)列{a_n}中各項都大于1，
∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=3，
當(dāng)n=1時，a₁²+3a₁=6S₁-2．解得：a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項，以3為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=3n-1；
（2）b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=$\frac{1}{3}$[（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$）+…+（$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$）]，
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{3n-1}$-$\frac{1}{3n+2}$），
=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$），
=$\frac{1}{2（3n+2）}$，
T_n=$\frac{1}{2（3n+2）}$，
（3）T_n＜$\frac{m}{36}$對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m，
T_n=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3n+2}$）＜$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，
即$\frac{m}{36}$≥$\frac{1}{6}$，即m≥6
∴所有n∈N^*對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m=6．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法及其應(yīng)用，考查“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．