Question

已知函數(shù)，；
（1）求在處的切線方程；
（2）若有唯一解，求的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得與在上均為增函數(shù)，若存在求出的范圍，若不存在請(qǐng)說明理由

Answer 1

（1）（2）或    （3）不存在實(shí)數(shù) 

本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)的概念和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)問題的綜合運(yùn)用試題。
（1）先求解導(dǎo)數(shù)，利用點(diǎn)斜式寫出切線方程。
（2）原方程等價(jià)于，令
則函數(shù)與在軸右側(cè)有唯一交點(diǎn)。轉(zhuǎn)化為圖像與圖像的交點(diǎn)來處理。
（3）分別分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后結(jié)合結(jié)論，判定都是單調(diào)增函數(shù)時(shí)的參數(shù)的取值范圍
解：（1）； ……………3分
（2）原方程等價(jià)于，令
則函數(shù)與在軸右側(cè)有唯一交點(diǎn)。

當(dāng)或時(shí) ，當(dāng)時(shí)
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。
時(shí)有極小值，時(shí)有極大值
當(dāng)有唯一解時(shí)或     ……………8分
（3），
當(dāng)時(shí) ，當(dāng)時(shí)
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。
與在上單調(diào)遞增， 使得與在上均為增函數(shù)則滿足，不等式組無解，故不存在實(shí)數(shù)