Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）當(dāng)b=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)n∈N^*，且n≥2時(shí)證明不等式：ln[（

1

2

+1）（

1

3

+1）…（

1

n

+1）]+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

＞

1

2

-

1

n+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,分類(lèi)討論,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式的方程即可得到；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)b≥

1

2

時(shí)，當(dāng)b＜0時(shí)，0＜b＜

1

2

時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，注意定義域；
（3）b=-1時(shí)，f（x）=x²-ln（x+1），令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），求出導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用單調(diào)性得到當(dāng)x＞0時(shí)，x³-x²+ln（x+1）＞0，即ln（x+1）+x³＞x²，對(duì)任意的n為正整數(shù)，取x=

1

n

，有l(wèi)n（1+

1

n

）+

1

n3

＞

1

n2

．再由對(duì)數(shù)的性質(zhì)和裂項(xiàng)相消求和即可得證．

解答： （1）解：f（x）=x²+ln（1+x），則f′（x）=2x+

1

1+x

，
曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線斜率為f′（0）=1，
切點(diǎn)為（0，0），則切線方程為y=x；
（2）f′（x）=2x+

b

x+1

=

2(x+ 1 2 )2+b- 1 2

x+1

（x＞-1），
當(dāng)b≥

1

2

時(shí)，f′（x）≥0，f（x）在x＞-1上遞增；
當(dāng)b＜

1

2

，f′（x）=0，解得，x₁=

-1- 1-2b

2

，x₂=

-1+ 1-2b

2

，
①當(dāng)b＜0時(shí)，x₁＜-1，x₂＞-1，f′（x）＞0，得x＞x₂，f′（x）＜0，得-1＜x＜x₂，
②當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，x₁＞-1，x₂＞-1，f′（x）＞0，得x＞x₂，-1＜x＜x₁，f′（x）＜0，得x₁＜x＜x₂；
綜上可得，當(dāng)b≥

1

2

時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（-1，+∞）；
當(dāng)b＜0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（

-1+ 1-2b

2

，+∞），減區(qū)間為（-1，

-1+ 1-2b

2

）；
當(dāng)0＜b＜

1

2

時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（

-1+ 1-2b

2

，+∞），（-1，

-1- 1-2b

2

）
減區(qū)間為（

-1- 1-2b

2

，

-1+ 1-2b

2

）；
（3）b=-1時(shí)，f（x）=x²-ln（x+1），
令h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），h′（x）=

3x3+(x-1)2

x+1

在x≥0恒正，
h（x）在[0，+∞）遞增，x＞0時(shí)，h（x）＞h（0）=0，即當(dāng)x＞0時(shí)，x³-x²+ln（x+1）＞0，
即ln（x+1）+x³＞x²，對(duì)任意的n為正整數(shù)，取x=

1

n

，有l(wèi)n（1+

1

n

）+

1

n3

＞

1

n2

．
則ln[（

1

2

+1）（

1

3

+1）…（

1

n

+1）]+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

=ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

3

）+…+ln（1+

1

n

）+

1

23

+

1

33

+…+

1

n3

=ln（1+

1

2

）+

1

23

+ln（1+

1

3

）+

1

33

+…+ln（1+

1

n

）+

1

n3

＞

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＞

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=

1

2

-

1

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間，考查分類(lèi)討論的思想方法，考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：證明不等式，考查放縮法和裂項(xiàng)相消求和的方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．