Question

【題目】試在①，②，③三個(gè)條件中選兩個(gè)條件補(bǔ)充在下面的橫線處，使得面ABCD成立，請(qǐng)說(shuō)明理由，并在此條件下進(jìn)一步解答該題：

如圖，在四棱錐中，，底ABCD為菱形，若__________，且，異面直線PB與CD所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】詳見(jiàn)解析；余弦值為

【解析】

先分析出只能選擇①③，再進(jìn)行證明和計(jì)算.

若選②：由平面ABCD知，又，

所以面PAC，所以，

所以，，

這與底面ABCD為菱形矛盾，所以②必不選，故選①③.

下面證明：平面ABCD，

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為菱形，所以.

因?yàn)?/span>，，

所以平面APC.

又因?yàn)?/span>平面APC，所以.

因?yàn)?/span>，O為AC中點(diǎn)，所以.

又，所以平面ABCD，

因?yàn)?/span>面ABCD，以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，的方向分別作為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>，所以為異面直線PB與CD所成的角，

所以.

在菱形ABCD中，設(shè)，

因?yàn)?/span>，所以，，

設(shè)，則，.

在中，由余弦定理得：

，

所以，解得，

所以，，，.

設(shè)為平面ABP的法向量，

，，

由可得：，

令得.

設(shè)為平面CBP的法向量，

，，

由可得：，

令得：.

設(shè)二面角的平面角為，

所以，所以二面角的余弦值為.