Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線E的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以O為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線，的極坐標(biāo)方程分別為，，交曲線E于點A，B，交曲線E于點C，D.

（1）求曲線E的普通方程及極坐標(biāo)方程；

（2）求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）16

【解析】

（1）由同角的平方關(guān)系可得曲線E的普通方程；由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，代入化簡可得曲線E的極坐標(biāo)方程；

（2）分別討論直線l1的斜率不存在，求得A，B，C，D的坐標(biāo)，計算可得所求和；若斜率存在且不為0，設(shè)出兩直線的方程，聯(lián)立圓的方程，運用韋達定理，以及兩直線垂直的條件，結(jié)合兩點的距離公式可得所求和．

解：（1）由E的參數(shù)方程（為參數(shù)），知曲線E是以為圓心，半徑為2的圓，

∴曲線E的普通方程為

令，得，

即曲線E極坐標(biāo)方程為

（2）依題意得，根據(jù)勾股定理，，

將，代入中，

得，

設(shè)點A，B，C，D所對應(yīng)的極徑分別為，，，，

則，，，

∴