Question

【題目】已知函數(shù).

（1）證明：；

（2）（i）證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，總有；

（ii）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（i）證明見解析（ii）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)

【解析】

（1），用導(dǎo)數(shù)法求得最小值大于零即可。

（2）（i）證明：由（1）知：，根據(jù)，利用根的分布證明。（ii）將的零點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化為的零點(diǎn)問題，求導(dǎo)，分，, ，，四種情況討論求解。

（1）令，

則.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

故在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，

所以，即.

（2）（i）證明：由（1）知：

.

當(dāng)，時(shí)，，

，故.

（ii），令，則.

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，

故的零點(diǎn)與的零點(diǎn)相同，

所以下面研究函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

∵，∴.

①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，

∴在上單調(diào)遞增.

∵，.

∴存在唯一的零點(diǎn)，使得.

②當(dāng)時(shí)，，

可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴的最小值為.

令，則，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又.

當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)，即時(shí)，且.

∵，∴在上有唯一的零點(diǎn).

又由（i）知：在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)，

∴在上有唯一的零點(diǎn)，

故此時(shí)在上有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)，即時(shí)，且，，.

又，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得在上有唯一零點(diǎn)，

故在，上各一個(gè)唯一零點(diǎn).

綜上可得：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有唯一零點(diǎn)；

當(dāng)且時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).