【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+ ,且f(x)+f( )=0,其中a,b為常數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在x=1的切線經過點(2,5),求函數(shù)的解析式;
(2)已知0<a<1,求證:f( )>0;
(3)當f(x)存在三個不同的零點時,求a的取值范圍.

【答案】
(1)解:在 中,取x=1得f(1)=0,∴f(1)=﹣a+b=0,∴a=b,

,∴f'(1)=1﹣a﹣b=1﹣2a,

∵f(x)的圖象在x=1的切線經過點(1,0),(2,5),∴k=

∴1﹣2a=5,得a=﹣2,


(2)證明:

,

∴x∈(0,1)時,g′(x)<0,g(x)單調遞減,

∴x∈(0,1)時,

故0<a<1時,f( )>0


(3)解:

①當a≤0時,在(0,+∞)上,f′(x)>0,f(x)遞增,∴f(x)至多一個零點,不符題意;

②當 時,在(0,+∞)上,f′(x)≤0,f(x)遞減,∴f(x)至多一個零點,不符題意;

③當 時,令f′(x)=0,解得 ,

此時,f(x)在(0,x1)上遞減,在(x1,x2)上遞增,在(x2,+∞)上遞減,

∵x1<1<x2,∴f(x1)<f(1)<f(x2),即f(x1)<0,f(x2)>0,

,∴ ,使得f(x0)=0,

又∵ ,

∴f(x)恰有三個不同的零點:

綜上所述,a的取值范圍是


【解析】(1)利用賦值法,令x=1,得到f(1)=0,則切點為(1,0),從而可求出切線的斜率k=5,即f'(1)=5.由方程組 ,即可求出a,b的值;(2)將x= 待入f(x)的解析式,構造函數(shù) ,通過求導可知g(x)在(0,1)上單調遞減,則g(x)>g(1)=1﹣ln2>0,即f( ,對參數(shù)a進行分類討論,易知a≤0,或a≥ 時,f(x)至多一個零點,不符題意;當0<a< 時,f(x)存在兩個極值點x1 , x2 , 通過零點存在定理可知,此時f(x)存在三個零點,滿足條件,故a的取值范圍是

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A.( ,9)
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B.[﹣ , ]
C.[﹣ , ]
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B.40m
C. m
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