【題目】已知函數(shù) ,函數(shù)f(x)的圖象記為曲線C.
(1)若函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,求c的取值范圍;
(2)若函數(shù)y=f(x)﹣m有兩個(gè)零點(diǎn)α,β(α≠β),且x=α為f(x)的極值點(diǎn),求2α+β的值;
(3)設(shè)曲線C在動(dòng)點(diǎn)A(x0 , f(x0))處的切線l1與C交于另一點(diǎn)B,在點(diǎn)B處的切線為l2 , 兩切線的斜率分別為k1 , k2 , 是否存在實(shí)數(shù)c,使得 為定值?若存在,求出c的值;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解法一:(1)f'(x)=x2﹣2x+c,當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)f'(x)=x2﹣2x+c≥0
所以(x2﹣2x+c)min≥0,而x2﹣2x+c在x=1處取得最小值,
所以1﹣2+c≥0,c≥1
解法二:(1)f'(x)=x2﹣2x+c,當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí)f'(x)=x2﹣2x+c≥0,
所以c≥﹣(x2﹣2x)對任意的x∈[0,+∞)恒成立,故c≥[﹣(x2﹣2x)]max,
即[﹣(x2﹣2x)]max=1,故c的取值范圍是[1,+∞)
(2)解法一:因?yàn)閤=α為f(x)的極值點(diǎn),
所以 ,所以c=﹣α2+2α,
又因?yàn)閥=f(x)﹣m有不同的零點(diǎn)α,β,所以f(α)=f(β),
即 ,
整理得: ,
所以2α+β=3
解法二:因?yàn)閤=α為f(x)的極值點(diǎn),且y=f(x)﹣m有兩個(gè)零點(diǎn)α,β(α≠β),
所以f(x)﹣m=0的三個(gè)實(shí)數(shù)根分別為α,α,β,
由根與系數(shù)的關(guān)系得
(3)解法一:滿足條件的實(shí)數(shù)c存在,
由f'(x)=x2﹣2x+c,知過A(x0,f(x0))點(diǎn)與曲線相切的直線l1為:y=f'(x0)(x﹣x0)+f(x0),
且k1= ﹣2x0+c,
將y=f'(x0)(x﹣x0)+f(x0)與y=f(x)聯(lián)立即得B點(diǎn)得橫坐標(biāo),
所以f'(x0)(x﹣x0)+f(x0)=f(x)
即:
整理得: 由已知x≠x0,所以x+2x0﹣3=0
所以x=3﹣2x0,即B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3﹣2x0所以過點(diǎn)B的曲線的切線斜率為:
= = =4k1+3﹣3c
因此當(dāng)且僅當(dāng) 3﹣3c=0時(shí),k1、k1成比例,這時(shí)c=1
即存在實(shí)數(shù)c=1,使 為定值
解法二:滿足條件的實(shí)數(shù)c存在,因?yàn)閒'(x)=x2﹣2x+c,
所以過A(x0,f(x0))點(diǎn)且與曲線C相切的直線l1為:
y=f'(x0)(x﹣x0)+f(x0),其中 .
設(shè)l1與C交于另一點(diǎn)B(x1,y1),則x0,x0,x1必為方程f(x)=f′(x0)(x﹣x0)+f(x0)的三個(gè)實(shí)數(shù)根,
由f(x)=f′(x0)(x﹣x0)+f(x0)得 ,
因?yàn)樯鲜龇匠痰挠疫叢缓雾?xiàng)和二次項(xiàng),
所以 ,所以x1=3﹣2x0,
所以 = = =4k1+3﹣3c.
因此當(dāng)且僅當(dāng) 3﹣3c=0時(shí),k1、k1成比例,這時(shí)c=1,即存在實(shí)數(shù)c=1,使 為定值.
【解析】法一:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)x=1是函數(shù)的最小值點(diǎn),得到關(guān)于c的不等式,解出即可;(2)求出c=﹣α2+2α,根據(jù)f(α)=f(β)得: ,從而求出α和β的關(guān)系;(3)求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),得到x+2x0﹣3=0,即B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3﹣2x0所以過點(diǎn)B的曲線的切線斜率,根據(jù)k1 , k2的值,作商即可.法二:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),分離參數(shù)c,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出c的范圍即可;(2)根據(jù)根與關(guān)系判斷即可;(3)分別求出k1 , k2的值,作商即可.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)的極值的方法是:(1)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值(2)如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知復(fù)數(shù)z=lg(m2﹣2m﹣2)+(m2+3m+2)i,根據(jù)以下條件分別求實(shí)數(shù)m的值或范圍.
(1)z是純虛數(shù);
(2)z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的第二象限.
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【題目】已知隨機(jī)變量X﹣N(1,1),其正態(tài)分布密度曲線如圖所示,若向正方形OABC中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分的點(diǎn)個(gè)數(shù)的估計(jì)值為( ) 附:若隨機(jī)變量ξ﹣N(μ,σ2),則P(μ﹣σ<ξ≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544.
A.6038
B.6587
C.7028
D.7539
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=2, cos2B+5cosB﹣ =0,且點(diǎn)D在線段BC上.
(1)若∠ADC= ,求AD的長;
(2)若BD=2DC, =4 ,求△ABD的面積.
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【題目】已知 ,若方程f(x)=kx有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為 .
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【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an﹣2n+1(n∈N*),則其通項(xiàng)公式an= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,若對于a,b,c∈D,f(a),f(b),f(c)分別為某個(gè)三角形的邊長,則稱f(x)為“三角形函數(shù)”.給出下列四個(gè)函數(shù): ①f(x)=lnx(e2≤x≤e3);②f(x)=4﹣cosx;③ ;④ .
其中為“三角形函數(shù)”的個(gè)數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣ax+ ,且f(x)+f( )=0,其中a,b為常數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在x=1的切線經(jīng)過點(diǎn)(2,5),求函數(shù)的解析式;
(2)已知0<a<1,求證:f( )>0;
(3)當(dāng)f(x)存在三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且b,c是關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣a2+b2+c2=0的兩根.
(1)求角A的大;
(2)已知a= ,設(shè)B=θ,△ABC的面積為y,求y=f(θ)的最大值.
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