【題目】已知 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),其中0<α<β<π.
(1)求證: 與 互相垂直;
(2)若k 與 ﹣k 的長(zhǎng)度相等,求β﹣α的值(k為非零的常數(shù)).
【答案】
(1)證明:由題意得: + =(cosα+cosβ,sinα+sinβ)
﹣ =(cosα﹣cosβ,sinα﹣sinβ)
∴( + )( ﹣ )=(cosα+cosβ)(cosα﹣cosβ)+(sinα+sinβ)(sinα﹣sinβ)
=cos2α﹣cos2β+sin2α﹣sin2β=1﹣1=0
∴ + 與 ﹣ 互相垂直
(2)解:方法一:k + =(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),
﹣k =(cosα﹣kcosβ,sinα﹣ksinβ)
|k + |= ,| ﹣k |=
由題意,得4cos(β﹣α)=0,
因?yàn)?<α<β<π,
所以β﹣α= .
方法二:由|k + |=| ﹣k |得:|k + |2=| ﹣k |2
即(k + )2=( ﹣k )2,k2| |2+2k +| |2=| |2﹣2k +k2| |2
由于| |=1,| |=1
∴k2+2k +1=1﹣2k +k2,故 =0,
即(cosα,sinα)(cosβ,sinβ)=0
即cosαcosβ+sinαsinβ=4cos(β﹣α)=0
因?yàn)?<α<β<π,
所以β﹣α=
【解析】(1)根據(jù)已知中向量 , 的坐標(biāo),分別求出向量 + 與 ﹣ 的坐標(biāo),進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系,可證得 與 互相垂直;(2)方法一:分別求出k 與 ﹣k 的坐標(biāo),代入向量模的公式,求出k 與 ﹣k 的模,進(jìn)而可得cos(β﹣α)=0,結(jié)合已知中0<α<β<π,可得答案.方法二:由|k + |=| ﹣k |得:|k + |2=| ﹣k |2 , 即(k + )2=( ﹣k )2 , 展開后根據(jù)兩角差的余弦公式,可得cos(β﹣α)=0,結(jié)合已知中0<α<β<π,可得答案.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系,掌握若平面的法向量為,平面的法向量為,要證,只需證,即證;即:兩平面垂直兩平面的法向量垂直即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測(cè)評(píng),根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例,使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,記錄他們的分?jǐn)?shù),將數(shù)據(jù)分成7組:[20,30),[30,40),┄,[80,90],并整理得到如下頻率分布直方圖:
(Ⅰ)從總體的400名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人,估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于70的概率;
(Ⅱ)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人,試估計(jì)總體中分?jǐn)?shù)在區(qū)間[40,50)內(nèi)的人數(shù);
(Ⅲ)已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70,且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等.試估計(jì)總體中男生和女生人數(shù)的比例.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓O:x2+y2=4,直線l:12x-5y+c=0(其中c為常數(shù)).下列有關(guān)直線l與圓O的命題中正確命題的序號(hào)是________.
①當(dāng)c=0時(shí),圓O上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線l的距離為1;
②若圓O上有四個(gè)不同的點(diǎn)到直線l的距離為1,則-13<c<13;
③若圓O上恰有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l的距離為1,則c=13;
④若圓O上恰有兩個(gè)不同的點(diǎn)到直線l的距離為1,則13<c<39;
⑤當(dāng)c=±39時(shí),圓O上只有一個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤(rùn)額資料如下表:
(1)若銷售額和利潤(rùn)額具有相關(guān)關(guān)系,用最小二乘法計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的回歸直線方程;
(2)據(jù)(1)的結(jié)果估計(jì)當(dāng)銷售額為1億元時(shí)的利潤(rùn)額.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心為原點(diǎn),離心率,其中一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為若點(diǎn)滿足: 其中是上的點(diǎn).直線的斜率之積為,試說明:是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使得為定值?若存在,求的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)且與圓相切,記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過點(diǎn)且斜率不為零的直線交曲線于, 兩點(diǎn),在軸上是否存在定點(diǎn),使得直線的斜率之積為非零常數(shù)?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一架飛機(jī)以600km/h的速度,沿方位角60°的航向從A地出發(fā)向B地飛行,飛行了36min后到達(dá)E地,飛機(jī)由于天氣原因按命令改飛C地,已知AD=600 km,CD=1200km,BC=500km,且∠ADC=30°,∠BCD=113°.問收到命令時(shí)飛機(jī)應(yīng)該沿什么航向飛行,此時(shí)E地離C地的距離是多少?(參考數(shù)據(jù):tan37°= )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(文科)在下列結(jié)論中①“”為真是“”為真的充分不必要條件;②“ ”為假是“”為真的充分不必要條件;③“ ”為真是“”為假的充分不必要條件;④“ ” 為真是“”為假充分不必要條件.正確的是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班50位同學(xué)周考數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間是:[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100].
(1)求圖中[80,90)的矩形高的值,并估計(jì)這50人周考數(shù)學(xué)的平均成績(jī);
(2)根據(jù)直方圖求出這50人成績(jī)的眾數(shù)和中位數(shù)(精確到0.1);
(3)從成績(jī)?cè)赱40,60)的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,求這2人成績(jī)分別在[40,50)、[50,60)的概率.
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